欧拉前向筛法求素数

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欧拉线性前向筛法求素数

时间复杂度:O(N)

先看代码,再进行解释

const int N=1e6+10;
int primes[N];
bool st[N];

void get_primes()
{
    int cnt=0;
    //1不是质数也不是合数
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!st[i]) primes[++cnt]=i;//没有被筛去,说明是质数
        for(int j=1;primes[j]*i<=N;j++){  //前向遍历素数
            st[i*primes[j]]=true;//筛去合数
            if(i%primes[j]==0) break;//核心操作,保证了O(n)的复杂度
        }
    }
}

引理:算术基本定理——任何一个大于1的自然数N,如果N不为质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积

非常重要:1既不是质数也不是合数

• 显然,在所有大于0的自然数中,除了质数就是合数.要求质数,只需要"筛"去所有的合数即可.如何筛去合数,这里就应用到了算术基本定理.关于合数,这里我们需要注意两点:
  (1).所有合数都要筛到
  (2).不能有重复筛选,否则无法达到在线性时间内的运行了

• 要做到第一点,根据算术基本定理:n=q*m(q表示最小质数,m=N/q,显然m>=q),对N内的m和q进行枚举

  for(某个数m;m<=N;m++){
      for(小于或等于m的质数q;q*m<=N;){...}
  }
  

  这样我们就保证了能枚举N以内的所有整数,然而我们还不能保证枚举的合数不重复。
  先来思考一下为什么会有重复,由于对于任意一个n=m*q,m和q是相对的两个状态,m大了q就变小,m小了q就变大。
  设n=m1*q1=m2*q2,q1<=q2<=m2<=m1我们这里需要保证当且仅当在q1是最小质因数时能求解,也就是去除q2和m2的情况.因为q1与q2互质,且q1<q2,则有m2%q1=0;

• 举例说明：我们构造一个数n可以同时被两个质数整除，如:6=2*3=3*2，我们既可以用2去筛，也可以用3去筛，即i=3,j=1,primes[j]=2的情况，对应了标题的前向筛法

  证明：

  #include <iostream>
  #include <cstring>
  #include <cstdio>
  #include <algorithm>
  
  using namespace std;
  
  const int N=1e6+10;
  int primes[N];
  bool st[N];
  
  void get_primes()
  {
      int cnt=0;
      //1不是质数也不是合数
      for(int i=2;i<=N;i++){
          if(!st[i]) primes[++cnt]=i;//没有被筛去,说明是质数
          for(int j=1;i*primes[j]<=N;j++){
              if(i*primes[j]==6){
                  cout << "i:" << i << " primes[j]:" << primes[j] << endl;
              }
              st[i*primes[j]]=true;//筛去合数
              if(i%primes[j]==0) break;//核心操作,保证了O(n)的复杂度
          }
      }
  }
  
  int main()
  {
      //n以内的所有质数
      int n,cnt;
      cin >> n;
      get_primes();
      for(int i=1;primes[i]<=n;i++){
          cnt++;
      }
      cout << cnt << endl;
      return 0;
  }
  /*
  输出
  i:3 primes[j]:2
  */
  

• 所以关键步骤来了: if(i%peimes[j]==0) break;
  当i是primes[j]的倍数时直接跳出循环,设i=primes[j]*t,此时有i*primes[j+1]=primes[j]*t*primes[j+1]，
  可以看到此时的最小质数时primes[j],为了避免与当m=primes[j+1]*t时有重复,这里可以通过break跳过计算
  此外还需注意:要保证m从2开始,因为1*q=1且i%1==0;

注：
第二个for循环的判断条件不需要的j<cnt
(1).i是质数,那么当j=cnt时break
(2).i是合数,那么必然在最下素数处也会break