JOISC 2021 Day3 保镖

Day $\mathbb{P}_1+\mathbb{P}_2+\mathbb{P}_3+\mathbb{P}_4+\mathbb{P}_5+\mathbb{P}_6$。

放到二维平面上考虑，点 $(x,y)$ 表示 $x$ 时刻在 $y$ 位置上，那么第 $i$ 顾客的路径可以看成起点为 $(t_i,a_i)$，终点为 $(t_i+|b_i-a_i|,b_i)$ 的线段 $P_i$。

注意到一个保镖的最优策略中一定不会闲着不动，因为如果他此时正在保护一个人的话显然跟下去比不动更优；如果他此时没有保护一个人的话显然是去找下一个保护的人更优。所以保镖的路径形如若干斜率 $1$ 或者 $-1$ 形成的线段拼接起来的折线 $Q_i$。

考虑到一个保镖一旦离开了正在保护的人就再也追不上他了，那么保镖 $i$ 保护顾客 $j$ 时间为 $P_j$ 和 $Q_i$ 重合的线段在时间轴上的投影长度，也就是重合线段长度 $l$ 的 $\frac{1}{\sqrt 2}$。考虑将坐标轴顺时针旋转 $45$ 度再进行放缩，那么 $(x,y)\to (x-y,x+y)$，此时重合线段长度 $l'$ 为 $\sqrt 2l$，那么保护时间就是重合线段长度的 $\frac{1}{2}$，收益就变成了 $\frac{c_i}{2}\cdot l'$。于是令 $c_i\gets c_i\cdot \frac{1}{2}$。

于是问题转化成平面上有若干平行或垂直于坐标轴的直线 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$，$q$ 次询问，每次询问给出一个点 $(x,y)$，每次只能向上/向右走单位距离，和 $P_i$ 重合的长度为 $L_i$，收益为 $c_i\cdot L_i$，求总收益最大是多少。

所有顾客线段延长交叉起来会变成一个大小为 $O(n\times n)$ 的网格图。考虑 $(x,y)$ 一定是先径直走到网格图的某条线上，沿着某条可能不完整的线再走到某个格点，最后再在格点之间移动。

对网格进行离散化之后容易 dp $O(n^2)$ 预处理出 $f_{i,j}$ 表示目前在网格上的 $(i,j)$ 点，对应坐标系中的 $(x_i,y_j)$ 点（$1\le i\le m,1\le j\le k$），只能向上/向右走，走下去的最大收益。然后假设 $(x,y)$ 向上走到了 $(x,y_j)$ 所在的一条边，再向右走到了第一个格点 $(x_i,y_j)$，那么取经过 $(x,y_j)$ 的 $c_i$ 最大的线段 $L_i$，收益就是 $c_i(x_i-x)+f_{i,j}$。

注意到经过 $(x,y_j)$ 的线段必定经过 $(x_i,y_j)$ 和 $(x_{i-1},y_j)$，因为一条直线起码经过两个格点。所以记 $v_{i,j}$ 为经过格点 $(x_i,y_j)$ 且 $(x_i,y_j)$ 不为其右端点的线段 $P_i$ 中 $c_i$ 的最大值，那么收益就是 $v_{i-1,j}(x_i-x)+f_{i,j}$。

注意到 $x$ 固定时 $x_i$ 为第一个大于 $x$ 的格点横坐标，所以 $i$ 是固定的，将 $v_{i-1,j}$ 看作一条直线的斜率，$f_{i,j}$ 看作截距，问题转化为求给定 $k$ 条直线在 $x_i-x$ 处的 $y$ 坐标的最大值，离线下来李超树解决即可。

复杂度 $O((n^2+q)\log n+q\log q)$。