CF960G Bandit Blues

半个月前做的题，这段时间一直在颓所以没写题解，今天突然想起来才准备补上。

考虑枚举最大值 $n$ 的位置 $i$，那么排列就被分成 $2$ 个段 $[1,i-1]$ 和 $[i+1,n]$，而且 $\forall k\in [i+1,n]$，$k$ 不可能是前缀最大值；$\forall k\in [1,i-1]$，$k$ 不可能是后缀最大值。

于是两个段可以互相独立地进行计数。就是说 $[1,i-1]$ 中有 $a-1$ 个前缀最大值，$[i+1,n]$ 中有 $b-1$ 个后缀最大值。

令 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 个数的排列前缀最大值有 $j$ 个的方案数。枚举 $n$ 的位置 $i$，从剩下 $n-1$ 个数中选 $i-1$ 个放到 $[1,i-1]$，那么答案就是：

$$\text{ans}=\sum\limits_{i=1}^n\dbinom{n-1}{i-1}f_{i-1,a-1}f_{n-i,b-1}$$

考虑 $f$ 怎么求，我们从大到小往当前排列 $P$ 中插入最小值 $k$，考虑 $n$ 个数的排列有 $n+1$ 个位置可以插入：

• 若 $k$ 插入到 $P$ 的开头，新增一个前缀最大值，则 $f_{i,j}\gets f_{i-1,j-1}$。
• 若 $k$ 插入到 $P$ 的其它位置，前缀最大值个数不变，则 $f_{i,j}\gets (i-1)f_{i-1,j}$。

于是：

$$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+(i-1)f_{i-1,j}$$

看得出来 $f_{i,j}$ 这东西就是第一类斯特林数 $\begin{bmatrix}i\\j\end{bmatrix}$。

那么答案就是：

$$\text{ans}=\sum\limits_{i=1}^n\dbinom{n-1}{i-1}\begin{bmatrix}i-1\\a-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}n-i\\b-1\end{bmatrix}$$

至此，不怕麻烦的同学就可以直接计算 $a-1,b-1$ 两列的斯特林数，然后卷一下就行了。

如果继续化简，有 $3$ 种方式：

• 代数推导（天地灭）
• 生成函数（天地灭灭灭灭灭灭灭灭）
• 组合意义（非常的新鲜，非常的美味啊！）

所以我们考虑组合意义。

求和里面那坨就相当于从 $n-1$ 个数中选 $i-1$ 个生成 $a-1$ 个圆排列，剩下 $n-i$ 个数生成 $b-1$ 个圆排列的方案数。

按照范德蒙德卷积的思路，相当于 $n-1$ 个数中先生成 $a+b-2$ 个圆排列，再从这么多圆排列中选出 $a-1$ 个的方案数。由于选出来后 $a-1$ 个圆排列和 $i$（$a-1$ 个圆排列总大小）是对应的，所以既不会重也不会漏。

于是答案就是 $\begin{bmatrix}n-1\\a+b-2\end{bmatrix}\dbinom{a+b-2}{a-1}$。

考虑到第一类斯特林数没有实用的通项公式，直接大力把第 $n-1$ 行算出来就行了。复杂度 $O(n\log n)$。

typedef vector<int> poly;
const int G = 114514;
const int P = 998244353;
const int N = 6e5 + 600;

int n, a, b, fac[N], ifac[N];
poly bs;

int qpow(int p, int q) {
    int res = 1;
    for (; q; q >>= 1, p = 1ll * p * p % P)
        if (q & 1) res = 1ll * res * p % P;
    return res;
}

const int iG = qpow(G, P - 2);

void init(int lim) {
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= lim; i++)
        fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
    ifac[lim] = qpow(fac[lim], P - 2);
    for (int i = lim - 1; ~i; i--)
        ifac[i] = 1ll * ifac[i + 1] * (i + 1) % P;
}

void NTT(int *f, int len, int lim, int op) {
    static int tr[N];
    for (int i = 1; i < len; i++)
        tr[i] = (tr[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (lim - 1));
    for (int i = 0; i < len; i++) 
        if (i < tr[i]) swap(f[i], f[tr[i]]);
    for (int o = 2, k = 1; k < len; o <<= 1, k <<= 1) {
        int tg = qpow(~op ? G : iG, (P - 1) / o);
        for (int i = 0; i < len; i += o) {
            for (int j = 0, w = 1; j < k; j++, w = 1ll * w * tg % P) {
                int x = f[i + j], y = 1ll * w * f[i + j + k] % P;
                f[i + j] = (x + y) % P, f[i + j + k] = (x - y + P) % P;
            }
        }
    }
    if (~op) return;
    int iv = qpow(len, P - 2);
    for (int i = 0; i < len; i++)
        f[i] = 1ll * f[i] * iv % P;
}

poly Mul(poly x, poly y) {
    static int tx[N], ty[N];
    int len = 1, lim = 0, sx = x.size(), sy = y.size();
    while (len < (sx + sy)) len <<= 1, lim++;
    memset(tx, 0, sizeof(int) * (len + 10));
    memset(ty, 0, sizeof(int) * (len + 10));
    for (int i = 0; i < sx; i++) tx[i] = x[i];
    for (int i = 0; i < sy; i++) ty[i] = y[i];
    NTT(tx, len, lim, 1), NTT(ty, len, lim, 1);
    for (int i = 0; i < len; i++)
        tx[i] = 1ll * tx[i] * ty[i] % P;
    NTT(tx, len, lim, -1);
    poly res;
    for (int i = 0; i < sx + sy - 1; i++) res.pb(tx[i]);
    return res;
}

poly conq(int len) {
    if (len == 1) return bs;
    if (len & 1) {
        poly tp = conq(len - 1), res;
        res.pb(1ll * tp[0] * (len - 1) % P);
        for (int i = 1; i < len; i++) 
            res.pb((tp[i - 1] + 1ll * tp[i] * (len - 1) % P) % P);
        res.pb(tp[len - 1]);
        return res;
    }
    poly tp = conq(len >> 1), ta, tb, tc;
    int res = 1;
    for (int i = 0; i <= (len >> 1); i++)
        ta.pb(1ll * tp[i] * fac[i] % P), tb.pb(1ll * res * ifac[i] % P), res = 1ll * res * (len >> 1) % P;
    reverse(ta.begin(), ta.end());
    ta = Mul(ta, tb);
    for (int i = 0; i <= (len >> 1); i++)
        tc.pb(1ll * ifac[i] * ta[(len >> 1) - i] % P);
    return Mul(tp, tc);
}

int C(int n, int m) {
    if (n < m || m < 0) return 0;
    return 1ll * fac[n] * ifac[m] % P * ifac[n - m] % P;
}

int main() {
    n = rd(), a = rd(), b= rd(), init(n << 1), bs = poly(2, 1), bs[0] = 0;
    if (n == 1) {
        if (a == 1 && b == 1) puts("1");
        else puts("0");
        return 0;
    }
    if (a + b - 2 > n) return puts("0"), 0;
    poly ans = conq(n - 1);
    wr(1ll * ans[a + b - 2] * C(a + b - 2, a - 1) % P);
	return 0;
}