UVA??? 考试 Exam

本来这篇题解是想在中考前写的，但是直到考前都没调出来，原因是 pow() 的精度感人。

由于 $x\equiv0\pmod{a\cdot b}$，令 $c=\dfrac{x}{ab}$，答案即 $abc\le n$ 的无序三元组 $(a,b,c)$ 数量。

考虑把无序转成有序，即 $a\le b\le c$，但显然会算少，分 $4$ 种情况讨论：

• $a=b=c=k$，合法的有 $(k,k,k)$，对答案的贡献为 $1$。
• $a=b=k<c$，合法的有 $(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k)$，贡献为 $3$。
• $a<b=c=k$，合法的有 $(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k)$，贡献为 $3$。
• $a<b<c$，合法的有 $(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a)$，贡献为 $6$。

我们只需要统计 $4$ 中情况每种的数量，乘上对应的贡献加起来即可。

• $a=b=c=k$，$abc\le n$，$k\le \lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor$，方案数为 $\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor$。
• $a=b=k<c$，枚举 $k$（显然不会超过 $\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor$），$k<c\le \left\lfloor\dfrac{n}{k^2}\right\rfloor$，方案数为 $\sum\limits_{k=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor}\left\lfloor\dfrac{n}{k^2}\right\rfloor-k$。
• $a<b=c=k$，枚举 $a$，$k\le \left\lfloor\dfrac{n}{a}\right\rfloor$，方案数为 $\sum\limits_{a=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor}\left\lfloor\dfrac{n}{a}\right\rfloor-a$。
• $a<b<c$，枚举 $a,b$，$c\le \left\lfloor\dfrac{n}{ab}\right\rfloor$，方案数为 $\sum\limits_{a=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor}\sum\limits_{b=a+1}^{\lfloor\sqrt{\frac{n}{a}}\rfloor}\left\lfloor\dfrac{n}{ab}\right\rfloor-b$。

不难计算出复杂度 $O(Tn^{\frac{2}{3}})$。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

namespace vbzIO {
	char ibuf[(1 << 20) + 1], *iS, *iT;
	#if ONLINE_JUDGE
	#define gh() (iS == iT ? iT = (iS = ibuf) + fread(ibuf, 1, (1 << 20) + 1, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS++) : *iS++)
	#else
	#define gh() getchar()
	#endif
	#define mt make_tuple
	#define mp make_pair
	#define fi first
	#define se second
	#define pc putchar
	#define pb push_back
	#define ins insert
	#define era erase
	#define bg begin
	#define rbg rbegin
	typedef tuple<int, int, int> tu3;
	typedef pair<int, int> pi;
	inline int rd() {
		char ch = gh();
		int x = 0;
		bool t = 0;
		while (ch < '0' || ch > '9') t |= ch == '-', ch = gh();
		while (ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = gh();
		return t ? ~(x - 1) : x;
	}
	inline void wr(int x) {
		if (x < 0) {
			x = ~(x - 1);
			putchar('-');
		}
		if (x > 9)
			wr(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}
using namespace vbzIO;

int n, k, t;

int calc() {
	int res = k;
	for (int i = 1; i <= k; i++) {
		res += max((int)sqrt(n / i) - i, 0ll) * 3;
		res += max(n / (i * i) - i, 0ll) * 3;
		for (int j = i + 1; i * j * (j + 1) <= n; j++) 
			res += (n / (i * j) - j) * 6;
	}
	return res;
}

int cl(int x) {
    int res = -1, l = 1, r = 1e6;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (mid * mid * mid <= x) l = mid + 1, res = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return res;
}

signed main() {
	while (~scanf("%lld", &n)) {
		k = cl(n);
		printf("Case %lld: %lld\n", ++t, calc());
	}
	return 0;
}

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upd : 补充一下复杂度证明，但是不太严谨。

不难发现复杂度主要是在第 $4$ 部分，为 $T(n)=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor}\left(\sqrt{\dfrac{n}{i}}-i\right)$

后面那个 $-i$ 可以直接扔出来变成 $\sqrt[3]{n}$，考虑:

$$\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor}\sqrt{\frac{n}{i}}&=\sqrt n\cdot\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor}\frac{1}{\sqrt i}\\&\thicksim\sqrt n\int^{n^{\frac{1}{3}}}_1x^{-\frac{1}{2}}dx\\&=\cdot O(n^{\frac{1}{2}}\cdot n^{\frac{1}{6}})=O(n^{\frac{2}{3}})\end{aligned}$$

所以复杂度就大概 $O(n^{\frac{2}{3}})$ 了。