SNOI2017 遗失的答案

真的一点都不卡啊……

首先这个最大公倍数 $\text{G}$ 明显是诈骗，如果 $\text{G}\nmid \text{L}$ 一定无解，直接判掉。否则我们将 $\text{L},\text{X}$ 和 $\text{N}$ 都除 $\text{G}$：$\text{N}$ 之所以能直接除 $\text{G}$ 是因为你取出来的数都必须是 $\text{G}$ 的因数。而 $[1,\text{N}]$ 中有 $\left\lfloor\frac{\text{N}}{\text{G}}\right\rfloor$ 个数满足这个条件。

然后问题变为：

从 $[1,\text{N}]$ 中取若干数，$\text{Q}$ 次询问，每次查询必须包含 $\text{X}$ 的取数方案，使得 $\text{gcd}$ 为 $1$ 并且 $\text{lcm}$ 为 $\text{L}$。

显然我们取的数都是 $\text{L}$ 的因数，于是可以对 $\text{L}$ 质因数分解。假设质数 $p$ 的次数为 $r_p$。其次，$\text{L}$ 的因数最多有 $d=768$ 个，记为集合 $\mathbb{F}$。

由于 $\omega(10^8)=8$，并且我们只关心每个数的质因子 $p$ 次数是否为 $0$ 或者 $r_p$，所以考虑状压。可以对于每个 $x\in\mathbb{F}$，将 $x$ 的状态表示为一个 $16$ 位的二进制数：前 $8$ 位表示每个 $p$ 的次数是否为 $0$，后 $8$ 位表示每个 $p$ 的次数是否为 $r_p$。

这一步预处理是 $O(d\omega(\text{L})+\text{N})$ 的，写得再臭都能过。

先不考虑 $\text{X}$ 的限制，答案就是取出若干个数，或起来为全集的方案数，将或起来为 $S$ 的答案设为 $f_S$。

这是典，考虑容斥：令 $g_S$ 为或起来是 $S$ 的子集的方案数。$g_S=\sum\limits_{T\subseteq S}f_T$，于是 $f_S=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}g_T$。由于答案 $S$ 为全集，并且 $|S|=2\omega(\text{L})$，所以 $\text{ans}=\sum\limits_T(-1)^{|T|}g_T$。

考虑到 $g_S=2^{c(S)}$。$c(S)$ 为 $[1,\text{N}]$ 的数状态表示为 $S$ 子集的个数，显然可以用 FWT 求出，做一遍子集和即可。

现在考虑有 $\text{X}$ 的限制，改变 $f,g$ 的定义为必须选 $\text{X}$ 时，相应的意义。于是 $g_S=[\text{X}\subseteq S]2^{c(S)-1}$，即减去不选 $\text{X}$ 的方案。

注意到 $\text{ans}=\sum\limits_T(-1)^{|T|}g_T$ 仍然成立。所以：

$$\begin{aligned}\text{ans}&=\sum\limits_T(-1)^{|T|}g_T\\&=\sum\limits_T(-1)^{|T|}[\text{X}\subseteq T]2^{c(T)-1}\\&=\sum\limits_{\text{X}\subseteq T}(-1)^{|T|}2^{c(T)-1}\end{aligned}$$

考虑预处理出所有的 $\text{ans}(\text{X})$，这东西显然是个超集和，也可以 FWT 做。做完了，复杂度 $O(n+\omega(\text{L})(d+2^{\omega(\text{L})}))$。

真的一点也不卡常。在 LOJ 上只跑了 143 ms。