Luogu 6097 【模板】子集卷积

upd 2023/3/16：更改了时间复杂度的错误。

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其实是暴力。

因为这是模板题，所以模板的前置知识也要讲。

• 前置知识：FWT 计算或卷积。

这里只需要掌握快速计算或卷积的方法，所以内容较少。如果向了解更多（比如异或卷积）的话可以去 P4717 看看。

例题：给定长度为 $2^n$ 的序列 $a,b$，求 $c_k=\sum\limits_{i|j=k}a_ib_j$ 序列中每一项的值。我们需要一个 $O(n2^n)$ 的解法。

考虑根据 $a,b$ 构造两个序列 $A,B$，若 $a\to A,b\to B$ 均为 $O(n2^n)$ 并且这个过程可逆，令 $C_i=A_i\times B_i$，若 $C$ 能还原回 $c$，那么我们就可以 $O(n2^n)$ 计算 $c$。

在这里，我们令 $A_i=\sum\limits_{j|i=i}a_j$（也就是 $j$ 为 $i$ 的子集）。那么有 $C_i=\sum\limits_{(j|k)|i=i}a_jb_k$。

那么有：

$$\begin{aligned}A_i\times B_i&=\left(\sum\limits_{j|i=i}a_j\right)\left(\sum\limits_{j|i=i}b_j\right)\\&=\sum\limits_{j|i=i,k|i=i}a_jb_k\\&=\sum\limits_{(j|k)|i=i}a_jb_k\\&=C_i\end{aligned}$$

也就是说我们证明了这个 $A,B$ 是的确能映射到一个正确的 $C$ 的。现在考虑如何快速求 $A_i=\sum\limits_{j|i}a_j$。

显然可以从低到高枚举每个二进制位，然后当前位为 $0$ 的是右边对应位置为 $1$ 的子集，从左依次贡献到右即可。

$C\to c$ 相当于求一个逆过程，右边依次减去左边的贡献即可。

参考了这里的代码。

void fwt(int *s, int op) {
	op = (op + mod) % mod;
	for (int o = 2, k = 1; o <= S + 1; o <<= 1, k <<= 1) 
		for (int i = 0; i <= S; i += o)
			for (int j = 0; j < k; j++)
				(s[i + j + k] += 1ll * s[i + j] * op % mod) %= mod;
}

• 回到原题

你发现这东西就多加了一个限制 $i\&j=0$，也就是说 $i,j$ 无交。

考虑一个充要条件，$i\&j=0$ 并且 $i|j=k$ 其实就相当于 $|i|+|j|=|k|$ 并且 $i|j=k$，$|i|$ 表示 $i$ 集合的大小，即 $i$ 中 $1$ 的个数。

所以可以预处理 $f_{i,j}$ 表示满足 $|j|=i$ 的 $a_j$ 的值，$g_{i,j}$ 对 $b$ 同理。

那么 $c_{k}=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}\sum\limits_{j|l=k}f_{i,j}g_{k-i,l}$。

令 $h_{i}=\sum\limits_{k=0}^nf_{k}*g_{i-k}$，$*$ 表示进行或卷积，那么 $c_i=h_{|i|,i}$。

FWT 预处理每个 $f_k$ 和 $g_k$ 的子集和，枚举这个 $i,k$ 求出 $h$ 的子集和，然后做逆的 FWT 就做完了。复杂度 $O(n^22^n)$。

const int maxs = (1 << 20) + 100;
const int mod = 1e9 + 9;
int n, S, a[maxs], b[maxs], c[21][maxs], f[21][maxs], g[21][maxs];
int p[maxs];

void fwt(int *s, int op) {
	op = (op + mod) % mod;
	for (int o = 2, k = 1; o <= S + 1; o <<= 1, k <<= 1) 
		for (int i = 0; i <= S; i += o)
			for (int j = 0; j < k; j++)
				(s[i + j + k] += 1ll * s[i + j] * op % mod) %= mod;
}

int main() {
	n = read(), S = (1 << n) - 1;
	for (int i = 1; i <= S; i++) p[i] = p[i >> 1] + (i & 1);
    for (int i = 0; i <= S; i++) f[p[i]][i] = read();
    for (int i = 0; i <= S; i++) g[p[i]][i] = read();
	for (int i = 0; i <= n; i++) fwt(f[i], 1), fwt(g[i], 1);
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j <= i; j++)
			for (int k = 0; k <= S; k++)
				(c[i][k] += 1ll * f[j][k] * g[i - j][k] % mod) %= mod;
	for (int i = 0; i <= n; i++) fwt(c[i], -1);
	for (int i = 0; i <= S; i++) write(c[p[i]][i]), pc(' ');
	return 0;
}