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题目 传送门 题解 反演经典题型，考虑将 \(\gcd\) 拿出来枚举，然后将柿子往下推 先定义 \(S(n)=1+2+3...+n=\frac{n(n+1)}{2}\). \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j) &=\sum_{ 阅读全文
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\[ \color{red}{\text{校长者，真神人也，左马桶，右永神，会执利笔破邪炁，何人当之？}} \\ \begin{array}{|} \hline \color{pink}{\text{The principal is really a god}} \\ \color{pink}{\t 阅读全文
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题目 让你计算俩东西： \[ A=\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\\ B=\sum_{i=1}^n\varphi(i^2) \] 数据范围：\(n\le 10^9\). 题解 不难发现 \(A=1\). 对于 \(B\) 而言，可以感性理解，发现 \(\varphi(i^2)=i\time 阅读全文
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题目 传送门 思路 对于第一个询问，令 \(g=I,h=id\)，则满足 \(h=\varphi*g\)，带入得 \[ \text{Ans}_1(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^n\text{Ans}_1(\frac{n}{i}) \] 默认分数下取整. 对于第二个询问 阅读全文
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模板测试链接 传送门 〇、前言 杜教不会杜教筛. 对于一些积性函数，我们有较寻常的欧筛的 \(\mathcal O(n)\) 或者埃氏筛法的 \(\mathcal O(n\log n)\) 进行处理，但是这些算法有些弊端——比如辅助空间需要较大，以及时间复杂度不是非常优秀（都线性了还非人哉？） 比如 阅读全文
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题目 传送门 给定一个字符串 \(S\)，求 \(S\) 中 \(\forall i\in[0,n)\) 求有多少对后缀满足 \(\text{Len}(lcp)\ge i\)，以及满足条件的两个后缀的权值乘积的最大值. 题解 首先将问题转化为求 \(\text{Len}(lcp)=i\) 的有多少， 阅读全文
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题目 传送门 给定一个长度为 \(n\) 的小写字母串.问你有多少对相交的回文子 串(包含也算相交)。. 输入格式 第一行是字符串长度 \(n(1\le n\le 2*10^6)\)，第二行字符串. 输出格式 相交的回文子串个数 \(\bmod 51123987\). 题解 首先，如果我们正向求解有 阅读全文
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〇、测试链接 传送门 壹、定义 其实 \(\tt PAM\) 个人感觉是 \(\tt SAM\) 和 \(\tt AC\) 自动机的组合，用到的大部分思想来自于 \(\tt AC\) 自动机以及 \(\tt kmp\)，但是采用的建立方式是 \(\tt SAM\) 的增量法，即来了一个点就在原来的基 阅读全文
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题目 传送门 尝试与思考 求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij) \] 考虑设 \(T=ij\)，那么就有 \[ \text{ans}\;=\;\sum_{T=1}^{nm}d(T)\sum_{i=1}^{\frac{T}{m}\le i\le n}[i|T] \] 然 阅读全文
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题目 传送门 题解 这里有个弱化版本. 在二维上，如果 \((x,y)\) 在 \((0,0)\) 可视，那么有 \(\gcd(x,y)=1\)，即这俩数互质，虽然这道题在三维视角上，但是也是一样的. 现在，我们的任务就是求：使得 \(\gcd(a,b,c)=1\) 的三元组 \(\lang a,b 阅读全文
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题目 传送门 题解 题目交代了是“动态直径”，肯定是在线啦，问题在于我们选用什么数据结构维护，以及怎么维护. 比较经典地，对于每个数标上 \(\tt dfn\)，然后使用线段树维护。问题是在线段树上如何维护一个区间的点的直径？对于一颗线段树上的区间，它的直径的两个端点必然来源于它的子区间的两条直径的 阅读全文
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题目 传送门 题解 首先搞明白建树的方式：遇到左括号往下走，遇到右括号往回走.现在我们要求这个构造出来的树的直径. 由于每一次都会互换两个括号的位置，所以显然树的形态是不固定的，进而如果我们每次将树构造出来跑树 \(\tt DP\) 显然不可取，这样复杂度为 \(\mathcal O(qn)\)，对 阅读全文
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题目 传送门 题解 方法一、\(\mathcal O(n\sqrt n\log n)\) 考虑到数据范围 \(n\le 100000\)，在分块可以接受的范围内，同时，如果我们暴力修改，肯定和点的度有关，那么我们不妨将点的度进行分块： 对于度数小于等于 \(\sqrt n\) 的点，修改的时候暴力改 阅读全文
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〇、关于后缀自动鸡的一些牢骚废话和引入 它取名叫后缀自动鸡，但是实际上在一个自动鸡出炉之后好像和后缀基本上没什么关系，按照 \(\text{JZM}\) 大佬的话，叫 “子串自动鸡” 可能更恰当. 只不过，它取名叫后缀自动鸡，原因是之一可能是在原本的串 \(S\) 后面插入新字符 \(c\) 时，将 阅读全文
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题目 传送门 题解 算法一 暴力做，枚举 \(A\) 的字串，在 \(B,C\) 中暴力找，时间复杂度 \(\mathcal O(n^4)\). 算法二 同样要在 \(A\) 中枚举字串，但是考虑在 \(L=1\) 时，对于 \(A\) 的每个字符，我们可以在 \(B,C\) 中找出相匹配的，随着 阅读全文
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模板测试链接 传送门 大致思想 利用倍增的思想解决后缀排序问题. 设上一轮比较长度为 \(k\)，那么这一轮比较长度为 $2k$，我们只取每个后缀的 $2k$ 个，并将他们每个后缀划分为前 \(k\) 个字符的部分和后 \(k\) 个字符的部分，如果某个长度小于等于 \(k\)（也就是没有第二段）， 阅读全文
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题目 题目背景 在糖果厂里，有一台生产糖果的机器。机器有一排输出口，编号从 $1$ 到 \(n\)。一颗糖果生产好后就会从某个输出口掉出来。 糖果机在开始生产之前，它会打印一张列表，告诉工厂老板，每颗糖果何时以及从哪个插槽掉出来。 工厂老板可以在输出槽下方安装移动的机器人，以抓住掉落的糖果。 任何糖 阅读全文
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题目 题目背景 有一只甲虫处于一根水平的树枝。因为他沉迷数学无法自拔，所以他觉得很像是在 \(x\) 轴上。 在同一根树枝上，还有 \(n\) 滴露水。每滴露水占用 \(m\) 个单位的水分。相对于甲虫的位置，他们的坐标分别是 \(x_1,x_2...x_n\). 显然，这一天将会骄阳似火。每过一个 阅读全文
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题目 传送门 题解 区间 \(DP\) 一眼，问题在于如何降低转移复杂度. 定义 \(f[l][r]\) 表示将 \(a[l]\) 与 \(a[r]\) 选择之后，区间的期望代价，这样定义我们需要在两边加俩哨兵. 十分容易列出转移： \[ f[i][j]=1+\sum_{i<k<j}^{a_i<a_ 阅读全文
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题目 题目背景 有 \(n\) 个城市，标号为 $1$ 到 \(n\)，修建道路花费 \(m\) 天，第 \(i\) 天时，若 \((a,b)=m-i+1\)，则标号为 \(a\) 的城市和标号为 \(b\) 的城市会建好一条直接相连的道路，有多次询问，每次询问某两座城市最早什么时候能连通。 输入描 阅读全文