\[\color{red}{\textsf{小游者，真神人也，左马桶，右永神，会执利笔破邪炁，何人当之？}} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{pink}{\text{A small swimmer is a God.}} \\
\color{pink}{\text{The left toilet and the right eternal God}} \\
\color{pink}{\text{can break the evil energy with a sharp pen.}} \\
\color{pink}{\text{Who can resist him? }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{green}{\text{小遊者は、神であり、左便器、右永神であり}} \\
\color{green}{\text{鋭いペンを持って真実を突き刺している。誰が彼に抵抗できるだろうか？ }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{lightblue}{\text{Petit voyageur, est Dieu aussi, toilettes gauche, Dieu éternel droit,}} \\
\color{lightblue}{\text{peut tenir un stylo tranchant pour briser le mal, qui devrait le faire?}} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{purple}{\text{Der Direktor ist wirklich ein Gott}} \\
\color{purple}{\text{mit einer Toilette links und Yongshen rechts}} \\
\color{purple}{\text{der einen spitzen Stift hält}} \\
\color{purple}{\text{um die Wahrheit zu durchdringen.}} \\
\color{purple}{\text{Wer kann ihm widerstehen? }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{cyan}{\text{Ein kleiner Schwimmer ist ein Gott.}} \\
\color{cyan}{\text{Die linke Toilette und der rechte ewige Gott können }} \\
\color{cyan}{\text{die böse Energie mit einem scharfen Stift brechen.}} \\
\color{cyan}{\text{Wer sollte es sein?}} \\
\hline
\end{array} \\
\color{red}{\textsf{对曰：“无人，狗欲当之，还请赐教！”}} \\
\newcommand\brak[1]{\left({#1}\right)}
\newcommand\Brak[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand\d[0]{\text{d}}
\newcommand\string[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}}
\newcommand\down[2]{{#1}^{\underline{#2}}}
\newcommand\ddiv[2]{\left\lfloor\frac{#1}{#2}\right\rfloor}
\newcommand\udiv[2]{\left\lceil\frac{#1}{#2}\right\rceil}
\newcommand\lcm[0]{\operatorname{lcm}}
\newcommand\set[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil{#1}\right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}
\newcommand\rhs[1]{\;\text{Rhs}\;#1}
\newcommand\lhs[1]{\;\text{Lhs}\;#1}
\newcommand\Vec[1]{\vec{\mathbf{#1}}}
\newcommand\rank[0]{\text{rank}}
\newcommand\group[1]{\left\langle\right\rangle}
\newcommand\norm[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand\E[0]{\mathbb{E}}
\newcommand\Pro[0]{\mathbb{P}}
\]
之前做邓老师的题的时候，那个 \(\mathcal O(n\sqrt n)\) 的证明就给咕了，没想到又遇到了，然后学了证明，就写一写。
证明目标
想要证明的是这样一个东西：
对于一个随机序列 \(\set{x_1,x_2,\cdots,x_n}\)，对于元素 \(x_i\)，有 \(0.5\) 的概率为 \(1\)，剩下 \(0.5\) 的概率为 \(-1\)，求 \(\displaystyle\mathbb{E}\brak{\sum_{i=1}^nx_i}\) 和 \(0\) 的偏差在 \(\pm\sqrt n\) 左右。
感觉这个东西和中心极限定理很像，实际上我们的证明也和证明中心极限定理类似的方法。不过，证明 \(p_i=\pm 1\) 的难度稍大，接下来考虑证明一个等价的命题
对于一个随机序列 \(\set{x_1,x_2,\cdots,x_n}\)，对于元素 \(x_i\)，有 \(p_i\) 的概率为 \(1\)，剩下 \(1-p_i\) 的概率为 \(0\)，证明 \(\displaystyle\mathbb{E}\brak{\sum_{i=1}^nx_i}\) 和 \(\displaystyle u=\sum_{i=1}^np_i\) 的偏差在 \(\pm\sqrt n\) 左右。
一些前提与基础
说是基础，真的是基础吗......证明都比较感性，毕竟这些东西在 OI 中似乎比较少用如果 OI 的什么都要证明，那和数竞有什么区别。
- \(\Pro(X\ge a)\le \dfrac{\E(X)}{a}\)（马尔科夫不等式）
证明考虑移项：\(a\Pro(X\ge a)\le \E(X)\)，然后，显然有 \(a\Pro(X\ge a)\le \E(X\ge a)\le \E(X)\).
当 \(x=0\) 时，\(1=1\)；当 \(x>0\) 时，\((1+x)'=1,(e^x)'=e^x>1\).
开始证明！
考虑使用类似于证明中心极限定理的方法，现在我们要证明的是 \(\Pro(X\ge (1+\delta)u)\)，其中 \(X\) 为 \(\displaystyle \E\brak{\sum_{i=1}^n x_i}\)，我们想要证明 \(X\) 与 \(u\) 的相对误差为 \(\delta\) 时的概率，如果我们计算出了这个，那么就可以根据其取值计算出 \(\delta\) 取多少时概率偏差概率特别小。
然后
\[\Pro(X\ge (1+\delta)u)=\Pro(\exp(tX)\ge \exp((1+\delta)tu))\le \frac{\E(\exp(tX))}{\exp((1+\delta)tu)}
\]
最后一步使用了马尔科夫不等式。
\[\frac{\E(\exp(tX))}{\exp((1+\delta)tu)}=\frac{\prod_{i=1}^n \E(\exp(tx_i))}{\exp((1+\delta)tu)}=\frac{\prod_{i=1}^n 1+p_i(e^t-1)}{\exp((1+\delta)tu)}\le \frac{\exp(u(e^t-1))}{\exp((1+\delta)tu)}
\]
第二个等号就是将 \(\E\) 拆成概率×贡献的形式之后再化简，等号就使用了 \(1+x\le e^x(x\ge 0)\)，现在的问题就是算 \(\dfrac{\exp(u(e^t-1))}{\exp((1+\delta)tu)}=\exp(u(e^t-t(1+\delta)-1))\) 的最小值，用求导算出 \(t=\ln(1+\delta)\) 时取最小值，此时原函数取值为 \(\exp((1-t)(1+\delta)-1)\)，即 \(\Pro(X\ge (1+\delta)u)\le \exp((1-t)(1+\delta)-1)\)，这个东西太复杂了，考虑使用泰勒展开取 \(\exp(u(e^t-t(1+\delta)-1))\) 的近似值，由于原式可写成 \(\exp(u(\delta-(1+\delta)\ln(1+\delta)))\)，将后面的一项使用泰勒展开取前三项之后，原式变为 \(\exp(-u\dfrac{\delta^2}{2})\)，因此，说明
\[\Pro(X\ge (1+\delta)u)\le \exp\brak{-u\frac{\delta^2}{2}}
\]
其实还应当证明 \(\Pro(X\le (1-\delta)u)\) 的，但是相似，就不写了。
在上述证明中，\(u=\dfrac{n}{2}\)，取 \(\delta=\dfrac{4}{\sqrt n}\) 时，这个概率就已经达到 \(e^{-4}\)，算很小的了，此时误差范围大概在 \(2\sqrt n\) 左右。
这个证明太松了，以至于在实际操作中，有尊神设的 \(\log n\) 都可以过......大概分析一下，感觉是马尔科夫太松了马尔科夫不行，霍夫丁行！
