[题解]关于一个期望根号的证明

$$\color{red}{\textsf{小游者，真神人也，左马桶，右永神，会执利笔破邪炁，何人当之？}} \\ \begin{array}{|} \hline \color{pink}{\text{A small swimmer is a God.}} \\ \color{pink}{\text{The left toilet and the right eternal God}} \\ \color{pink}{\text{can break the evil energy with a sharp pen.}} \\ \color{pink}{\text{Who can resist him? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{green}{\text{小遊者は、神であり、左便器、右永神であり}} \\ \color{green}{\text{鋭いペンを持って真実を突き刺している。誰が彼に抵抗できるだろうか？ }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{lightblue}{\text{Petit voyageur, est Dieu aussi, toilettes gauche, Dieu éternel droit,}} \\ \color{lightblue}{\text{peut tenir un stylo tranchant pour briser le mal, qui devrait le faire?}} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{purple}{\text{Der Direktor ist wirklich ein Gott}} \\ \color{purple}{\text{mit einer Toilette links und Yongshen rechts}} \\ \color{purple}{\text{der einen spitzen Stift hält}} \\ \color{purple}{\text{um die Wahrheit zu durchdringen.}} \\ \color{purple}{\text{Wer kann ihm widerstehen? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{cyan}{\text{Ein kleiner Schwimmer ist ein Gott.}} \\ \color{cyan}{\text{Die linke Toilette und der rechte ewige Gott können }} \\ \color{cyan}{\text{die böse Energie mit einem scharfen Stift brechen.}} \\ \color{cyan}{\text{Wer sollte es sein?}} \\ \hline \end{array} \\ \color{red}{\textsf{对曰：“无人，狗欲当之，还请赐教！”}} \\ \newcommand\brak[1]{\left({#1}\right)} \newcommand\Brak[1]{\left\{{#1}\right\}} \newcommand\d[0]{\text{d}} \newcommand\string[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand\down[2]{{#1}^{\underline{#2}}} \newcommand\ddiv[2]{\left\lfloor\frac{#1}{#2}\right\rfloor} \newcommand\udiv[2]{\left\lceil\frac{#1}{#2}\right\rceil} \newcommand\lcm[0]{\operatorname{lcm}} \newcommand\set[1]{\left\{{#1}\right\}} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil{#1}\right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor{#1}\right\rfloor} \newcommand\rhs[1]{\;\text{Rhs}\;#1} \newcommand\lhs[1]{\;\text{Lhs}\;#1} \newcommand\Vec[1]{\vec{\mathbf{#1}}} \newcommand\rank[0]{\text{rank}} \newcommand\group[1]{\left\langle\right\rangle} \newcommand\norm[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand\E[0]{\mathbb{E}} \newcommand\Pro[0]{\mathbb{P}}$$

  之前做邓老师的题的时候，那个 $\mathcal O(n\sqrt n)$ 的证明就给咕了，没想到又遇到了，然后学了证明，就写一写。

证明目标

  想要证明的是这样一个东西：

  对于一个随机序列 $\set{x_1,x_2,\cdots,x_n}$，对于元素 $x_i$，有 $0.5$ 的概率为 $1$，剩下 $0.5$ 的概率为 $-1$，求 $\displaystyle\mathbb{E}\brak{\sum_{i=1}^nx_i}$ 和 $0$ 的偏差在 $\pm\sqrt n$ 左右。

  感觉这个东西和中心极限定理很像，实际上我们的证明也和证明中心极限定理类似的方法。不过，证明 $p_i=\pm 1$ 的难度稍大，接下来考虑证明一个等价的命题

  对于一个随机序列 $\set{x_1,x_2,\cdots,x_n}$，对于元素 $x_i$，有 $p_i$ 的概率为 $1$，剩下 $1-p_i$ 的概率为 $0$，证明 $\displaystyle\mathbb{E}\brak{\sum_{i=1}^nx_i}$ 和 $\displaystyle u=\sum_{i=1}^np_i$ 的偏差在 $\pm\sqrt n$ 左右。

一些前提与基础

  说是基础，真的是基础吗......证明都比较感性，毕竟这些东西在 OI 中似乎比较少用如果 OI 的什么都要证明，那和数竞有什么区别。

• $\Pro(X\ge a)\le \dfrac{\E(X)}{a}$（马尔科夫不等式）

  证明考虑移项：$a\Pro(X\ge a)\le \E(X)$，然后，显然有 $a\Pro(X\ge a)\le \E(X\ge a)\le \E(X)$.

• $1+x\le e^x(x\ge 0)$

  当 $x=0$ 时，$1=1$；当 $x>0$ 时，$(1+x)'=1,(e^x)'=e^x>1$.

开始证明！

  考虑使用类似于证明中心极限定理的方法，现在我们要证明的是 $\Pro(X\ge (1+\delta)u)$，其中 $X$ 为 $\displaystyle \E\brak{\sum_{i=1}^n x_i}$，我们想要证明 $X$ 与 $u$ 的相对误差为 $\delta$ 时的概率，如果我们计算出了这个，那么就可以根据其取值计算出 $\delta$ 取多少时概率偏差概率特别小。

  然后

$$\Pro(X\ge (1+\delta)u)=\Pro(\exp(tX)\ge \exp((1+\delta)tu))\le \frac{\E(\exp(tX))}{\exp((1+\delta)tu)}$$

  最后一步使用了马尔科夫不等式。

$$\frac{\E(\exp(tX))}{\exp((1+\delta)tu)}=\frac{\prod_{i=1}^n \E(\exp(tx_i))}{\exp((1+\delta)tu)}=\frac{\prod_{i=1}^n 1+p_i(e^t-1)}{\exp((1+\delta)tu)}\le \frac{\exp(u(e^t-1))}{\exp((1+\delta)tu)}$$

  第二个等号就是将 $\E$ 拆成概率×贡献的形式之后再化简，等号就使用了 $1+x\le e^x(x\ge 0)$，现在的问题就是算 $\dfrac{\exp(u(e^t-1))}{\exp((1+\delta)tu)}=\exp(u(e^t-t(1+\delta)-1))$ 的最小值，用求导算出 $t=\ln(1+\delta)$ 时取最小值，此时原函数取值为 $\exp((1-t)(1+\delta)-1)$，即 $\Pro(X\ge (1+\delta)u)\le \exp((1-t)(1+\delta)-1)$，这个东西太复杂了，考虑使用泰勒展开取 $\exp(u(e^t-t(1+\delta)-1))$ 的近似值，由于原式可写成 $\exp(u(\delta-(1+\delta)\ln(1+\delta)))$，将后面的一项使用泰勒展开取前三项之后，原式变为 $\exp(-u\dfrac{\delta^2}{2})$，因此，说明

$$\Pro(X\ge (1+\delta)u)\le \exp\brak{-u\frac{\delta^2}{2}}$$

  其实还应当证明 $\Pro(X\le (1-\delta)u)$ 的，但是相似，就不写了。

  在上述证明中，$u=\dfrac{n}{2}$，取 $\delta=\dfrac{4}{\sqrt n}$ 时，这个概率就已经达到 $e^{-4}$，算很小的了，此时误差范围大概在 $2\sqrt n$ 左右。

  这个证明太松了，以至于在实际操作中，有尊神设的 $\log n$ 都可以过......大概分析一下，感觉是马尔科夫太松了马尔科夫不行，霍夫丁行！