[学习笔记]Border&Period杂谈

  十分简要地胡乱说一些与 Border 相关的东西。

Border 是什么？

  用 kmp 求的那个东西就是 border，因此 border 可以在 $\mathcal O(n)$ 内用 kmp 求出来，每个前缀的 border 构成树形结构，把这个树建出来，我们称其为失配树。

Border 的性质

弱周期引理(Weak Periodicity Lemma,WPL)

  若 $p,q$ 为 $S$ 的周期，且 $p+q\le |S|$，那么 $\gcd(p,q)$ 也是 $S$ 的周期。

  证明：不妨设 $p<q$，令 $d=q-p$，那么：

• 当 $i<q$ 时，$S[i]=S[i+q]=S[i+q-p]=S[i+d]$；
• 当 $i>p$ 时，$S[i]=S[i-p]=S[i-p+q]=S[i+d]$；

  不难发现 $i$ 取遍 $[1,|S|]$，因此 $d$ 也为 $S$ 的周期，根据辗转相除法，可证 $\gcd(p,d)$ 为 $S$ 的周期。

周期定理(Periodicity Lemma,PL)

  若 $p,q$ 为 $S$ 的周期，且 $p+q-\gcd(p,q)\le |S|$，那么 $\gcd(p,q)$ 也是 $S$ 的周期。

  它比 WPL 稍微强一点在于对 $p,q$ 的限制。用得少，不证它了。

前缀整除周期传递性

  若 $S$ 是 $T$ 的前缀，且 $T$ 有周期 $a$，$S$ 有周期 $b$，$b\mid a\land |S|\ge a$，则 $T$ 也有周期 $b$.

  证明：画个图就行。

长串等差匹配位

  若 $2|S|\ge |T|$，则 $S$ 在 $T$ 中的匹配位置必为等差序列.

  证明：先将 $T$ 中没有被 $S$ 覆盖的部分去掉，由于 $2|S|\ge |T|$，因此此时的 $T$ 的所有部分都被 $S$ 覆盖。

  对于 $S$ 在 $T$ 中的匹配位小于等于 $2$，结论是显然的，下面考虑匹配位大于 $2$ 的情况。

  设 $S$ 在 $T$ 中第一二次的匹配位差为 $d$，第二次与后面的某一次匹配位差为 $q$，不难发现 $d,q$ 均为 $S$ 的周期，并且显然有 $d+q+|S|\le |T|$，并且 $2|S|\ge |T|$，可得 $d+q\le |S|$，由 WPL 得 $r=\gcd(d,q)$ 为 $S$ 的周期。设 $p$ 为 $S$ 的最小周期，那么有 $p\mid r$，否则 可以使用 WPL 构造更小的周期。此时 $p\mid r\mid d$.

  若 $p<d$，那么，由于 $p$ 是 $S$ 的循环，因此我们可以找到一个距离第一匹配位距离比 $d$ 更小的第二匹配位，与 $d$ 的定义矛盾。

  因此只有可能是 $p=r=d$，又因为 $r=\gcd(d,q)=d$，因此 $d\mid q$，所以匹配位在处理之后的 $T$ 上，从位置 $1$ 开始，每 $d$ 个出现一次。还原到原来的 $T$ 串上，匹配位就是公差为 $d$ 的等差数列了。

长 border 等差匹配位

  $S$ 的长度达到 $\displaystyle \frac{n}{2}$ 的 border 的长度构成等差序列。

  设 $n-p,n-q$ 为 $S$ 的两个长度达到 $\displaystyle \frac{n}{2}$ 的 border，且 $n-p$ 是最大的 border，那么 $p$ 为 $S$ 的最小周期，且 $p,q$ 均为 $S$ 的周期，由于 $\displaystyle n-p>n-q\ge \frac{n}{2}$，因此 $p+q\le n$，因此 $r=\gcd(p,q)$ 也为 $S$ 的周期，由于 $p$ 是 $S$ 的最小周期，因此 $r=p$，即 $p\mid q$，且 $p$ 是最小周期，因此所有的 border 长度以 $p$ 为公差构成等差序列。

  不难发现，实际上 $n-kp$ 都是 $S$ 的 border，因为既然 $p$ 为周期，那么 $2p,3p,\cdots$ 均为周期，进而说明 $n-2p,n-3p,\cdots$ 均为 border.

长 border 大一统

  设 $n-p$ 为 $S$ 的最大 border，如果 $\displaystyle n-p\ge \frac{n}{2}$，那么所有 $S$ 的长度在 $[p,n-p]$ 的 border 都是 $n-kp$ 的形式，并且不存在其他形式。

  采用反证法，设 $n-r$ 也是长度在 $[p,n-p]$ 的 border，且不是 $n-kp$ 的形式。由于 $p$ 也是周期，因此我们显然可以将这个 $r$ 进行 $\pm p$ 来任意调整。

  假设 $r\in [kp,(k+1)p)$，显然我们可以找到一个 $q\in [kp,(k+1)p)$ 且 $p\mid q$，此时，如果 $r+q\le n$，那么我们就可以使用 WPL 证明 $d=\gcd(r,q)\le |r-q|<p$ 为周期进而推出矛盾了。

  如何达到 $r+q\le n$ 呢？注意前面，我们可以将 $r$ 进行调整，显然可以将 $r$ 对 $\displaystyle p\le \frac{n}{2}$ 取模，此时保证了 $\displaystyle r<\frac{n}{2}$，此时 $r+q\le n$ 了。

  当然也可以用前面的等差匹配位来证明，显然可以找到一个 $t$ 使得 $\displaystyle n-r+tp\ge \frac{n}{2}$，且 $n-r+tp$ 也为 border，由等差匹配位，$n-r+tp$ 应与其他 $n-kq$ 构成等差序列，此时公差会变小，与 $p$ 的假设构成矛盾。

等差数列对数级

  一个串 $S$ 的所有 border 按长度排序后，可以被划分成 $\mathcal O(\log n)$ 个等差序列。

  把达到 $\displaystyle \frac{n}{2}$ 的 border 取出来，就是一个等差序列。然后只需要考虑长度为 $\displaystyle \frac{n}{2}$ 的前缀 $S'$，对于 $S'$，将达到 $\displaystyle \frac{n}{4}$ 的 border 取出来，又是一个等差序列......因此，只会有 $\mathcal O(\log n)$ 个等差序列。