[题解]题目新颖

$$\color{red}{\text{校长者，真神人也，左马桶，右永神，会执利笔破邪炁，何人当之？}} \\ \begin{array}{|} \hline \color{pink}{\text{The principal is really a god}} \\ \color{pink}{\text{with a closestool on the left and Yongshen on the right}} \\ \color{pink}{\text{holding a sharp pen to pierce the truth}} \\ \color{pink}{\text{Who can resist him? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{green}{\text{校長は本当に神であり、左側にトイレ、右側にヨンシェンがあり}} \\ \color{green}{\text{鋭いペンを持って真実を突き刺している。誰が彼に抵抗できるだろうか？ }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{lightblue}{\text{Le principal est vraiment un dieu}} \\ \color{lightblue}{\text{avec des toilettes à gauche et Yongshen à droite}} \\ \color{lightblue}{\text{tenant un stylo pointu pour percer la vérité}} \\ \color{lightblue}{\text{Qui peut lui résister ? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{purple}{\text{Der Direktor ist wirklich ein Gott}} \\ \color{purple}{\text{mit einer Toilette links und Yongshen rechts}} \\ \color{purple}{\text{der einen spitzen Stift hält}} \\ \color{purple}{\text{um die Wahrheit zu durchdringen.}} \\ \color{purple}{\text{Wer kann ihm widerstehen? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{cyan}{\text{Principalis deus est, Yongshen a dextris cum latrina}} \\ \color{cyan}{\text{acuto stylo ad perforandum veritatem: quis resistet ei? }} \\ \hline \end{array} \\ \color{red}{\text{对曰：“无人，狗欲当之，还请赐教！”}} \\ \newcommand\brak[1]{\left({#1}\right)} \newcommand\Brak[1]{\left\{{#1}\right\}} \newcommand\d[0]{\text{d}} \newcommand\string[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand\down[2]{{#1}^{\underline{#2}}} \newcommand\ddiv[2]{\left\lfloor\frac{#1}{#2}\right\rfloor} \newcommand\udiv[2]{\left\lceil\frac{#1}{#2}\right\rceil} \newcommand\lcm[0]{\operatorname{lcm}} \newcommand\set[1]{\left\{{#1}\right\}} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil{#1}\right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor{#1}\right\rfloor} \newcommand\rhs[1]{\;\text{Rhs}\;#1} \newcommand\lhs[1]{\;\text{Lhs}\;#1} \newcommand\Vec[1]{\vec{\mathbf{#1}}} \newcommand\rank[0]{\text{rank}}$$

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2022-03-12 题目新颖

  同时还考了 THUPC，如果有时间会做一些那个比赛的题解。然而这场考试仅仅摸了三个小时鱻做了三个小时，最后只有一个题......

T1 / A

  实际上我们只需要统计单调不降的序列的子序列的异或和之和，这是第一个观察，本来设计了一个朴素的 DP，但是发现相同的 $f$ 合并起来太麻烦了，于是放弃了。但是二进制下，拆位一般是很好用的，于是考虑一下拆位。假设最后的序列中，在 $2^i$ 上有 $t_i$ 位，那么这一位可以提供的贡献就是

$$2^i\times \brak{2^{n-t_i}\times \sum_{i=1}^{2i-1\le t_i}{t_i\choose 2i-1}}=2^i\times 2^{n-1}$$

  不过，当 $t_i=0$ 时，上式的结果应当为 $0$. 但是我们依然能够得到结论了：如果某一位上，至少有一个数有 $1$，那么对 $f$ 提供的贡献都是 $2^i\times 2^{n-1}$，当该位没有 $1$，提供的贡献就是 $0$. 换句话说，对于一个确定的 $\set{a_i}$，我们可以直接算出其 $f$ 值：

$$2^{n-1}\times \bigcup _{i=1}^n a_i$$

  注意到上面的计算，实际上，对于同一个 $a_i\in [l,r]$，我们只需要 $n=2$ 就可以凑出 $n>2$ 的所有 $\cup$ 的情况，

具体证明，如果 $l,r$ 的位数不一样，那么拿一个数来顶最高位，另外一个数处理除了最高位以外的其他为 $1$ 的位数；如果 $l,r$ 位数相同，那么我们可以去掉最高位看下一位，直到遇到某一位 $l,r$ 的最高位不同时，归约为第一种情况。

  因此，特判掉 $n=1$ 的情况之后，只需要处理 $n=2$ 的情况，也就是说，两个数有多少种不同的 $\cup$ 的结果。这个就是 Atcoder 的原题了，可以看这里.