[学习笔记]虚树
很久没有写过虚树了，想要复习一下发现以前居然没有一篇记录虚树的博客，遂大惊，只能又自己去复习一下 \(\mathcal O(n)\) 建虚树，然后有了这篇博客......
虚树的出现
对于某些树上问题，只涉及一些少量的关键的树上节点，并且这些关键节点的信息将在他们的 LCA 处进行合并（可能原本也不是在 LCA 处合并，不过你也可以通过乱搞变成在 LCA 处合并），而且 这种对于特殊点的处理需要进行多次，此时如果再对整棵树进行处理，显然浪费了很多时间，但稍微分析上述操作，实际上给只用到了所有特殊点和他们的 LCA，那么何不将其他节点忽略，只保留这些特殊点和边信息？于是这就有了虚树。
虚树的建立
虚树的节点数是 \(\mathcal O(|S|)\) 的，其中 \(S\) 为特殊点集，一个上界是 \(2|S|-1\)：有 \(|S|\) 个特殊点，而 LCA 的个数最多只有 \(|S|-1\) 个（这个得自己想想），并且我们希望虚树的形态和原树相差不远。
建立虚树的流程：
- 将所有关键点按照 dfn 排序；
- 将相邻关键点的 LCA 求出，加入点集，至此得到虚树点集；
- 将点集按照 dfn 排序；
- 建立栈，将 dfn 最小的元素加入栈；
- 从第二个元素开始，按照 dfn 从小到大遍历点集：弹出栈顶所有不是当前节点祖先的元素，直到出现祖先后，将该节点的虚树父亲设为栈顶元素，再将当前元素加入栈；
由于需要按照 dfn 排序，忽略 LCA 部分的话，总复杂度为 \(\mathcal O(|S|)\sim \mathcal O(|S|\log |S|)\)，，至于 LCA，一般推荐使用 \(\mathcal O(n\log n)-\mathcal O(1)\) 的预处理 ST 表方法。
