[学习笔记]群论&Burnside

\[\color{red}{\text{校长者，真神人也，左马桶，右永神，会执利笔破邪炁，何人当之？}} \\ \begin{array}{|} \hline \color{pink}{\text{The principal is really a god}} \\ \color{pink}{\text{with a closestool on the left and Yongshen on the right}} \\ \color{pink}{\text{holding a sharp pen to pierce the truth}} \\ \color{pink}{\text{Who can resist him? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{green}{\text{校長は本当に神であり、左側にトイレ、右側にヨンシェンがあり}} \\ \color{green}{\text{鋭いペンを持って真実を突き刺している。誰が彼に抵抗できるだろうか？ }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{lightblue}{\text{Le principal est vraiment un dieu}} \\ \color{lightblue}{\text{avec des toilettes à gauche et Yongshen à droite}} \\ \color{lightblue}{\text{tenant un stylo pointu pour percer la vérité}} \\ \color{lightblue}{\text{Qui peut lui résister ? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{purple}{\text{Der Direktor ist wirklich ein Gott}} \\ \color{purple}{\text{mit einer Toilette links und Yongshen rechts}} \\ \color{purple}{\text{der einen spitzen Stift hält}} \\ \color{purple}{\text{um die Wahrheit zu durchdringen.}} \\ \color{purple}{\text{Wer kann ihm widerstehen? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{cyan}{\text{Principalis deus est, Yongshen a dextris cum latrina}} \\ \color{cyan}{\text{acuto stylo ad perforandum veritatem: quis resistet ei? }} \\ \hline \end{array} \\ \color{red}{\text{对曰：“无人，狗欲当之，还请赐教！”}} \\ \newcommand\brak[1]{\left({#1}\right)} \newcommand\Brak[1]{\left\{{#1}\right\}} \newcommand\d[0]{\text{d}} \newcommand\string[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand\down[2]{{#1}^{\underline{#2}}} \newcommand\ddiv[2]{\left\lfloor\frac{#1}{#2}\right\rfloor} \newcommand\udiv[2]{\left\lceil\frac{#1}{#2}\right\rceil} \newcommand\lcm[0]{\operatorname{lcm}} \newcommand\set[1]{\left\{{#1}\right\}} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil{#1}\right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor{#1}\right\rfloor} \newcommand\rhs[1]{\;\text{Rhs}\;#1} \newcommand\lhs[1]{\;\text{Lhs}\;#1} \newcommand\Vec[1]{\vec{\mathbf{#1}}} \newcommand\rank[0]{\text{rank}} \newcommand\group[1]{\left\langle{#1}\right\rangle} \]

  写一点有意思的东西，顺便把 Burnside 的证明写一下。

1. 子群的推论

  判定子群很简单，若 \(H\subset G\land |H|>0\)，且 \(H\) 对二元运算 \(op\) 和求逆封闭，那么 \(H\le G\).

  推论一：如果 \(H\subset G\land |H|>0\)，那么 \(H\le G\) 当且仅当 \(\forall a,b\in H,ab^{-1}\in H\).

  就是把 对二元运算和求逆封闭 ruá 在一起了......

  推论二：如果 \(H\) 是 \(G\) 的非空有穷子集，那么 \(H\le G\) 当且仅当 \(\forall a,b\in H,ab\in H\).

  必要性显然，只需要证充分性，实际上证 \(H\) 关于求逆封闭即可。

  取 \(a\in H\)，若 \(a=e\)，则 \(a^{-1}=e\in H\)；令 \(a\neq e\)，设 \(S=\set{a,a^2,a^3,\cdots,a^i}\)，显然 \(S\subset H\)，由于 \(H\) 有限，因此必然存在 \(j\) 使得 \(a^j=a\)，得证。

2. 子群的生成

一些定义

  对于群 \(G\)，取 \(a\in G\)，定义 \(A=\set{a^i|i\in \Z}\)，那么 \(\group{A,op}\le \group{G,op}\)，称 \(\group{A,op}\) 是 \(a\) 生成的子群。

  定义 \(N(a)=\set{x|x\in G\land xa=ax}\)，即能和 \(a\) 交换的 \(G\) 的所有元素，\(N(a)\) 是 \(G\) 的子群，称 \(N(a)\) 是 \(a\) 的正规化子。类似地，定义子群 \(K\) 在 \(G\) 中的正规化子 \(N_G(K)=\set{h\in G|hKh^{-1}=K}\).

  对于子群 \(H_1\in G\)，存在 \(X\in G\)，使得 \(XH_1X^{-1}=H_2\)，则称 \(H_1\) 为 \(H_2\) 的共轭子群。可以类比矩阵的相似变换。

一个定理

  若 \(H,K\le G\)，那么 \((H\cap K)\le G\)，而 \((H\cup K)\le G\) 当且仅当发生退化，即 \(H\le K\lor K\le H\)，或 \(H\cup K\) 不构成群。至于其理解，可以从线性空间那里形象化理解。

3. 循环群

  若 \(G=\set{a^i|i\in \Z}\)，则称 \(G\) 为循环群，\(a\) 为生成元。\(n\) 阶循环群和装备了加法的 \(\bmod n\) 剩余系同构，而无穷多个元素的循环群和装备了加法的整数集合同构。

4. 置换群

一些定义

  变换：定义域和值域相同的函数（回忆线性变换），定义说只要是方阵就是置换，不需要强调是否满秩，我觉得这很不合理= =

  置换：函数是一个双射（既是单射又是满射，或者说是一一对应）并且定义域是有穷集合

  变换/置换的乘法：函数的合成

  可以给定义域的元素从 \(1\) 到 \(n\) 编号，那么一个 \(n\) 元置换的输入是 \(1\) 到 \(n\) 的任意一个数，输出也是 \(1\) 到 \(n\) 的任意一个数，由于函数是一个双射，所以如果把 \(1\) 到 \(n\) 挨个输入进去，那么输出的应该是一个排列 \(\sigma\)，所以可以用一个排列来表示一个置换.

  定义 \(S_n=\set{\mathsf{所有的}\;n\;\mathsf{元排列}}\)，称（装备了乘法的）\(S_n\) 为 \(n\) 元对称群，\(S_n\) 的子群为 \(n\) 元置换群

5. 群的陪集分解与共轭类分解

几个定义

  设 \(G\) 是群，设 \(H\) 是 \(G\) 的子群，\(a\in G\)，定义 \(Ha=\set{ha|h\in H}\)，称 \(Ha\) 是子群 \(H\) 在 \(G\) 中的一个右陪集。注意陪集是一个集合，并不一定是一个群。

  设 \(G\) 是群，对于任意的 \(a,b\in G\)，定义 \(b\) 是 \(a\) 的共轭当且仅当存在 \(x\in G\;\text{s.t.}\;b=xax^{-1}\)，可以证明共轭关系也是等价关系，可以进行共轭类分解。

一些定理

  显然 \(He=H,a\in Ha\).

  定理一：\(\forall a\in G\)，有 \(H\) 与 \(Ha\) 等势；

  证明：思路是构造从 \(H\) 到 \(Ha\) 的双射函数 \(\varphi\)，只需让 \(\varphi(h)=ha\) 即可。

  这说明在有限集的情况下，\(H\) 与 \(Ha\) 的阶相同。

  定理二：\(\forall a,b\in G\)，\(a\in Hb\Leftrightarrow Ha=Hb\Leftrightarrow ab^{-1}\in H\).

  证明：不会，但是从线性空间可以获得形象化的理解。

  这启发我们可以定义等价关系，并且进行等价类分解。

  Lagrange 定理：设 \(G\) 是有限群，\(H\) 是 \(G\) 的子群，则 \(G\) 的阶一定是 \(H\) 的阶的倍数，具体多少倍就看按照上述操作能分解出多少个等价类。

  定理四：设 \(G\) 是群，对于任意的 \(a,b\in G\)，若 \(G\) 是有穷元素构成的群，\(a\) 所在的共轭类的大小等于 \(\displaystyle \frac{|G|}{|N(a)|}\).

  证明：任取 \(x,y\in G\)，则

\[xax^{-1}=yay^{-1}\Leftrightarrow ax^{-1}y=x^{-1}ya\Leftrightarrow x^{-1}y\in N(a)\Leftrightarrow xN(a)=yN(a) \]

  （使用线空大法以获得直观理解）这个连续等价说明 \(x,y\) 在 \(G\) 关于 \(N(a)\) 的陪集分解中属于同一个等价类当且仅当 \(x,y\) 确定 \(a\) 的同一个共轭，因此 \(a\) 的共轭数量就等于 \(|N(a)|\)，于是可以说明问题.

6. 轨道-稳定子群定理

  设 \(G\) 是 \(A\) 上的有穷置换群，\(a\in A\).

  定义 \(G^a=\set{g|g\in G\land g(a)=a}\)，称 \(G^a\) 为 \(a\) 的稳定子群。

  定义 \(G(a)=\set{g(a)|g\in G}\)，称 \(G(a)\) 为 \(a\) 的轨道。

  轨道-稳定子群定理：\(|G|=|G^a||G(a)|\).

  首先显然 \(G^a\) 为 \(G\) 的子群，考虑陪集分解，任取 \(x,y\in G\)，则

\[x(a)=y(a)\Leftrightarrow x^{-1}(y(a))=a\Leftrightarrow x^{-1}y\in G^a\Leftrightarrow xG^a=yG^a \]

  这说明 \(x\) 和 \(y\) 在 \(G\) 关于 \(G^a\) 的陪集分解的同一个等价类中当且仅当 \(x(a)=y(a)\)，也就是说 \(|G(a)|\) 是 \(G\) 关于 \(G^a\) 的陪集分解的等价类的数量。

  这其实和 Burnside 的证明没什么两样。