[BZOJ2887]旅行
壹、题目描述 ¶
贰、题解 ¶
我们称大地图为 \(G\)，小地图为 \(g\)，大地图的点 \(u\) 到小地图的映射为 \(f(u)\).
显然，如果小地图存在欧拉回路，那么我们可以通过走大地图的每条边两次，一次走一半，将所有小地图上的边走完，并且我们在大地图上，也可以构造出一种恰好走每条边两次的方案，此时答案就是 \(\displaystyle m\times \sum_{e\in g} w_e\).
真正的难点在于 \(g\) 只存在欧拉路的情况。在该情况下，对于一条 \(\lang u,v\rang \in G\)，我们不知道如何从 \(f(u)\to f(v)\) 最大。我们假设已经走出一条路 \(P\)，然后将所有 \(e\in g\land e\notin P\) 的边删掉得到 \(g'\)，这样我们就成功地让我们走出来的路径 \(P\) 变成了一条欧拉路“所谓构造”，这启发我们对于走一个路径本质的分析，走出一条路，实际上就相当于删掉一些原图上的边，使得剩下的图有一条从 \(f(u)\) 到 \(f(v)\) 的欧拉路。这个问题就变得简单许多，我们找出 \(g\) 中的两个奇点 \(x,y\)，由于我们想让 \(g'\) 有一条从 \(f(u)\to f(v)\) 的欧拉路，我们需要完成三个目标：
- 让 \(d(f(u)),d(f(v))\) 变成奇数；
- 让 \(d(x),d(x)\) 变成偶数；
- 其他点的度数不变；
只有当我们选择几条以 \(f(u),f(v),x,y\) 为端点的路径，才可以达成上述目标，同时，我们又向让 \(g'\) 中的边权值最大，不难想到找到这几个元素任意组合的最小的最短路。因此，若从 \(f(u)\to f(v)\)，最大获得价值其实就是 \(\displaystyle\sum_{e\in g}w_e-\min\{dis(f(u),f(v))+dis(x,y),dis(f(u),x)+dis(f(v),y),dis(f(u),y)+dis(f(v),x)\}\)，此时我们能够解决每条大地图中的边内部小地图的最优解。
最后一个问题，我们实际上是在 \(G\) 上面游走，那么，怎么走才能获得最优解？首先断言，我们只需要考察每条边经过了 \(1\) 次还是 \(2\) 次（\(0\) 次肯定不优），若某条边走了 \(3\) 次，就相当于分别在 \(f(u),f(v)\) 外挂了三条边，此时我们找欧拉路，实际上和只有一次（即之在外秒挂了一条边）的效果是等价的，而两次同理。因此，我们需要解决的问题就是，在一堆走了 \(1\) 次的边上，看哪些边可以变成两次，但是这样不大好，因为 \(G\) 所有边都走一次，不能保证初始方案合法，因此我们考察在所有边都走了 \(2\) 次的情况下，选择一些边，让他们只走一次，而这些边，有公共端点的构成一个个环，所以我们想在原图上找一些环，把所有的边由两次改成一次，花费最小，不难想到网络流中的循环流。不过在这个数据范围跑费用流，你的双亲真的还在吗因为一些常见的原因，我们放弃这个方法，注意到 \(m\le n+5\)，因此我们可以先把 \(G\) 的 \(dfs\) 树搞出来，用 \(\mathcal O(2^{m-n+1})\) 复杂度枚举外挂边走 \(1\) 次还是 \(2\) 次，剩下的树边可以简单差分出来。
因此最后的复杂度就是 \(\mathcal O(p^3+2^{m-n+1}n)\).
叁、参考代码 ¶
/** @author Arextre; その可憐な少女は魔女であり、旅人でした。 ―― そう、私です。 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define USING_FREAD
// #define NDEBUG
// #define NCHECK
#include <cassert>
namespace Elaina {
#define rep(i, l, r) for(int i = (l), i##_end_ = (r); i <= i##_end_; ++i)
#define drep(i, l, r) for(int i = (l), i##_end_ = (r); i >= i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define Endl putchar('\n')
#define whole(v) ((v).begin()), ((v).end())
#define bitcnt(s) (__builtin_popcount(s))
#define y0 FUCK_UP
#define y1 MOTHER_FUCKER
#ifdef NCHECK
# define iputs(Content) ((void)0)
# define iprintf(Content, argvs...) ((void)0)
#else
# define iputs(Content) fprintf(stderr, Content)
# define iprintf(Content, argvs...) fprintf(stderr, Content, argvs)
#endif
typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
template<class T> inline T fab(T x) { return x < 0 ? -x : x; }
template<class T> inline void getmin(T& x, const T rhs) { x = min(x, rhs); }
template<class T> inline void getmax(T& x, const T rhs) { x = max(x, rhs); }
#ifdef USING_FREAD
inline char qkgetc() {
# define BUFFERSIZE 1 << 18
static char BUF[BUFFERSIZE], *p1 = BUF, *p2 = BUF;
return p1 == p2 && (p2 = (p1 = BUF) + fread(BUF, 1, BUFFERSIZE, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++;
# undef BUFFERSIZE
}
# define CHARRECEI qkgetc()
#else
# define CHARRECEI getchar()
#endif
template<class T> inline T readret(T x) {
x = 0; int f = 0; char c;
while(!isdigit(c = CHARRECEI)) if(c == '-') f = 1;
for(x = (c ^ 48); isdigit(c = CHARRECEI); x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48));
return f ? -x : x;
}
template<class T> inline void readin(T& x) {
x = 0; int f = 0; char c;
while((c = CHARRECEI) < '0' || '9' < c) if(c == '-') f = 1;
for(x = (c ^ 48); isdigit(c = CHARRECEI); x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48));
if(f) x = -x;
}
template<class T, class... Args> inline void readin(T& x, Args&... args) {
readin(x), readin(args...);
}
// default enter
template<class T> inline void writln(T x, char s = '\n') {
static int fwri_sta[55], fwri_ed = 0;
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
do fwri_sta[++fwri_ed] = x % 10, x /= 10; while(x);
while(putchar(fwri_sta[fwri_ed--] ^ 48), fwri_ed);
putchar(s);
}
} // namespace Elaina
using namespace Elaina;
const int maxn = 10005;
const int maxp = 200;
int n, m, p, q;
// big graph
vector<pii> g[maxn + 5];
int at[maxn + 5];
// small graph
int f[maxp + 5][maxp + 5];
int deg[maxp + 5], wsum;
inline void input() {
readin(n, m, p, q);
int u, v, w;
rep (i, 1, n) readin(at[i]);
rep (i, 1, m) {
readin(u, v);
g[u].push_back({ v, i }), g[v].push_back({ u, i });
}
memset(f, 0x3f, sizeof f);
rep (i, 1, q) {
readin(u, v, w);
// getmin(f[u][v], w), f[v][u] = f[u][v];
f[u][v] = f[v][u] = w;
++deg[u], ++deg[v], wsum += w;
}
}
inline void floyd() {
rep (i, 1, p) f[i][i] = 0;
rep (k, 1, p) rep (i, 1, p) if (i ^ k)
rep (j, 1, p) if ((j ^ i) && (j ^ k))
getmin(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
}
int x, y;
inline void getSpecialNode() {
x = y = 0; rep (i, 1, p) if (deg[i] & 1) (!x)? x = i: y = i;
}
vector<pii> extra; bool intr[maxn * 2 + 5];
void getExtraEdge(int u, int pare) {
static bool vis[maxn + 5]; vis[u] = true;
for (auto e: g[u]) if (e.se ^ pare) {
if (vis[e.fi] && u < e.fi) extra.push_back({ u, e.fi });
else if (!vis[e.fi]) intr[e.se] = true, getExtraEdge(e.fi, e.se);
}
}
inline int once(int u, int v) {
u = at[u], v = at[v];
return wsum - min(min(f[u][x] + f[v][y], f[u][y] + f[v][x]), f[u][v] + f[x][y]);
}
inline int twice(int u, int v) { return wsum - f[x][y]; }
int cnt[maxn + 5];
void dfs(int u, int fa, ll& cur) {
for (auto e: g[u]) if ((e.fi ^ fa) && intr[e.se]) dfs(e.fi, u, cur);
if (!fa) return; // lawks!
if (!cnt[u]) cur += twice(u, fa);
else cur += once(u, fa), cnt[u] ^= 1, cnt[fa] ^= 1;
}
signed main() {
input(); floyd(); getSpecialNode();
// Euler circuit exists.
if (!x) return printf("%lld\n", 1ll * m * wsum) & 0;
assert(x > 0), assert(y > 0);
getExtraEdge(1, 0);
ll ans = 0; int siz = (int)extra.size(), U = 1 << siz;
for (int s = 0; s < U; ++s) {
ll cur = 0;
memset(cnt + 1, 0, n << 2);
for (int i = 0; i < siz; ++i) {
if (s >> i & 1) cur += twice(extra[i].fi, extra[i].se);
else {
cur += once(extra[i].fi, extra[i].se);
cnt[extra[i].fi] ^= 1, cnt[extra[i].se] ^= 1;
}
}
dfs(1, 0, cur);
getmax(ans, cur);
}
writln(ans);
return 0;
}
