[学习笔记]二分图の定理们

\[\color{red}{\text{校长者，真神人也，左马桶，右永神，会执利笔破邪炁，何人当之？}} \\ \begin{array}{|} \hline \color{pink}{\text{The principal is really a god}} \\ \color{pink}{\text{with a closestool on the left and Yongshen on the right}} \\ \color{pink}{\text{holding a sharp pen to pierce the truth}} \\ \color{pink}{\text{Who can resist him? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{green}{\text{校長は本当に神であり、左側にトイレ、右側にヨンシェンがあり}} \\ \color{green}{\text{鋭いペンを持って真実を突き刺している。誰が彼に抵抗できるだろうか？ }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{lightblue}{\text{Le principal est vraiment un dieu}} \\ \color{lightblue}{\text{avec des toilettes à gauche et Yongshen à droite}} \\ \color{lightblue}{\text{tenant un stylo pointu pour percer la vérité}} \\ \color{lightblue}{\text{Qui peut lui résister ? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{purple}{\text{Der Direktor ist wirklich ein Gott}} \\ \color{purple}{\text{mit einer Toilette links und Yongshen rechts}} \\ \color{purple}{\text{der einen spitzen Stift hält}} \\ \color{purple}{\text{um die Wahrheit zu durchdringen.}} \\ \color{purple}{\text{Wer kann ihm widerstehen? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{cyan}{\text{Principalis deus est, Yongshen a dextris cum latrina}} \\ \color{cyan}{\text{acuto stylo ad perforandum veritatem: quis resistet ei? }} \\ \hline \end{array} \\ \color{red}{\text{对曰：“无人，狗欲当之，还请赐教！”}} \\ \newcommand\bra[1]{\left({#1}\right)} \newcommand\Bra[1]{\left\{{#1}\right\}} \newcommand\dx[0]{\text{dx}} \newcommand\string[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand\down[2]{{#1}^{\underline{#2}}} \newcommand\ddiv[2]{\left\lfloor\frac{#1}{#2}\right\rfloor} \newcommand\udiv[2]{\left\lceil\frac{#1}{#2}\right\rceil} \newcommand\lcm[0]{\operatorname{lcm}} \newcommand\set[1]{\left\{{#1}\right\}} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil{#1}\right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor{#1}\right\rfloor} \]

记号与约定 ¶

图：一个图 $G$ 为一个二元组，即 $G=\lang V,E\rang$.
二分图：点集可以被恰好分成两个独立集 $S,T$ 且 $S$ 和 $T$ 之间有边相连，$S,T$ 内部没有的图是二分图；
对于任意点集 $S$，定义 $N(S)$ 为 $S$ 的邻域，即 $S$ 中所有节点的邻接点的并集；
对于图 $G$，定义其点覆盖为一个点集 $P$，其满足 $\forall e=(u,v)\in E,u\in P\lor v\in P$，特别地，最小点覆盖为 $P'(|P'|=\min(P))$，记 $|P'|=\beta(G)$，定义其边覆盖为一个边集 $R$，其满足 $\forall u\in V,\exists e\in R\;\text{s.t.}\;u\in e$，最小边覆盖定理类似；
对于图 $G$，定义其匹配为一个边集 $Q$，其满足 $\forall e=(u,v)\in Q,u\notin e'\land v\neq e'(e'\in Q\setminus\{e\})$，特别地，最大匹配为 $Q'(|Q'|=\max(Q))$，记 $|Q'|=\alpha(G)$；
定义一个图的最大点度数为 $\delta(G)$，即 $\delta(G)=\max(d_u|u\in V)$；
图的边色数问题：对图 $G$ 的每条边涂上一种颜色，使得有公共点的边涂不同的颜色，若能用 $k$ 种颜色给 $G$ 的边着色就称对 $G$ 的边进行了 $k$ 着色，或称 $G$ 是 $k-$边可着色的。若 $G$ 是 $k-$边可着色，而不是 $(k-1)-$边可着色的，就称 $k$ 是 $G$ 的边色数，记作 $f(G)$；
......很多东西都可以在 $\rm oi-wiki$ 上找到，就不赘述了；

定理部分 ¶

二分图判定

二分图判定满足：$G$ 是二分图 $\Leftrightarrow$ $G$ 的点色数为 $2$ $\Leftrightarrow$ $G$ 中不存在奇环。

一些特殊的二分图：树、偶环、每个面的次数是偶数的平面图（该图的对偶图（将面当成点）是欧拉图）、完全二分图、K-方体图.....

可图化问题

给一个度数序列，问是否存在一个图/简单图/二分图/简单二分图满足度数序列。

对于度数序列 $D=(d_1,d_2,\cdots,d_n)(d_i\ge 0)$ 是可图化的当且仅当

\[\sum_{i=1}^nd_i\equiv 0\pmod 2 \]

更强地，若 $n-1\ge d_1\ge d_2\ge d_3\cdots\ge d_n\ge 0$，则 $D$ 是可简单图化当且仅当

\[\forall r\in [1,n-1],\sum_{i=1}^rd_i\le r(r - 1)+\sum_{j=r+1}^n\min\set{r,d_j}\land\sum_{i=1}^nd_i\equiv 0\pmod 2 \]

事实上，后者就是每次将最大度数的点向次大、次次大.....总计 $d_1$ 个点各连了一条边，然后归约为一个 $n-1$ 个点的子问题，并且若子问题可图化，则原图可图化。以上便是在描述这个过程。

最大流最小割定理

一个很经典的结论：$flow=\text{cut}(S,T)$. 从直观上理解，每一个 $\rm cut$ 相当于水管网络的一个截面，从 $\rm source$ 到 $\rm sink$ 的全部流量都要通过这个截面才能从一端到另一端。因此，任意截面的流量是总流量的上界。从线性规划的角度来看，最大流和最小割是对偶问题，因此最大流等于最小割。但此处讨论图论相关，便不引入线性规划。

证明该结论之前，先介绍给出一些记号：

$x_{ij}:$ 从 $i$ 到 $j$ 的流量；
$c_{ij}:$ 从 $i$ 到 $j$ 的容量；

然后进入证明部分：

\[\begin{align}{} flow&=\sum_{j=1}^nx_{sj}=\sum_{j=1}^nx_{sj}-\sum_{j=1}^nx_{js} \tag{1} \\ &=\sum_{i \in S}\bra{\sum_j x_{ij}–\sum_j x_{ji}} \tag{2} \\ &=\sum_{i \in S}\bra{\sum_{j \in S} x_{ij}+\sum_{j \in T} x_{ij}–\sum_{j \in S} x_{ji}-\sum_{j \in T} x_{ji}} \tag{3} \\ &=\sum_{i \in S}\sum_{j \in S}(x_{ij}-x_{ji})+\sum_{i \in S}\sum_{j \in T}(x_{ij}-x_{ji}) \tag{4} \\ &=\sum_{i \in S}\sum_{j \in T}(x_{ij}-x_{ji}) \tag{5} \\ &\le \sum_{i \in S}\sum_{j \in T}x_{ij} \tag{6} \\ &\le \sum_{i \in S}\sum_{j \in T}c_{ij}=cut(S,T) \tag{7} \end{align} \]

一些说明：

$(1)$：没有点会向汇点流，因此后一项 $\sum_{j=1}^nx_{js}=0$；
$(1)\to(2)$：事实上对于其他 $i\in S\setminus\set{s}$ 都有 $\sum_{j}x_{ij}=\sum_{j}x_{ji}$，所以只有当 $i=s$ 时括号里面才有值。
$(2)\to(3)$：就是把点分成 $S,T$ 两个部分而已；
$(3)\to(4)$：仅仅只是把括号拆开；
$(4)\to(5)$：显然前面那一项为 $0$ ；
$(5)\to(6)\to(7)$：简单放缩而已；

此时我们证明了最大流小于任意割，只需要取最紧的部分：$flow\le \min(cnt(S,T))$，若我们想要证明 $flow=\min(cnt(S,T))$，需要引入残留网络：

残留网络：对原图重新设置流量，若 $flow$ 中 $i$ 到 $j$ 上的流量为 $x_{ij}$，那么残留网络的 $c’_{ij}=c_{ij}-x_{ij}$，另外 $c'_{ji}=x_{ij}$ ；

由于 $flow$ 是最大流，所以残留网络中 $s$ 到 $t$ 不存在流量了，假设把 $c'_{ij}=0$ 的边删掉，那么 $s$ 和 $t$ 不连通，定义 $S$ 集为：当前残留网络中 $s$ 能够到达的点。同时定义 $T=V\setminus S$. 此时 $(S,T)$ 构成一个割 $(S,T)$. 对于任意的 $u\in S,v\in T$，有$x_{uv}=c_{uv}$. 所以 $flow=cut(S,T)$，因为若 $x_{uv}<c_{uv}$，则有 $x'_{uv}>0$，即 $s$ 可以到达 $v$，与 $v$ 属于 $T$ 矛盾.

$\mathcal{Menger}$ 定理

该定理有边、点两种形式，先看边形式：

对于图 $G=\lang V,E\rang$，取 $x\neq y\in V$，设 $P_e(x,y)$ 为 $G$ 中从 $x$ 到 $y$ 的边不交的路径集合，设 $f_e(x,y)=\max(|P_e(x,y)|)$，设 $g_e(x,y)$ 表示让 $x,y$ 不连通，最少删除的边数，则 $\mathcal {Menger}$ 定理的边形式即 $f_e(x,y)=g_e(x,y)$.

证明比较简单，不难看出 $f_e(x,y)=maxflow,g_e(x,y)=mincut$，由上文定理，有 $f_e(x,y)=g_e(x,y)$.

接下来看点形式：

对于图 $G=\lang V,E\rang$，取 $x\neq y\in V\land (x,y)\notin E$，设 $P_u(x,y)$ 为 $G$ 中从 $x$ 到 $y$ 的点不交的路径集合，设 $f_u(x,y)=\max(|P_u(x,y)|)$，设 $g_u(x,y)$ 表示让 $x,y$ 不连通，最少删除的点数，则 $\mathcal {Menger}$ 定理的点形式即 $f_u(x,y)=g_u(x,y)$.

证明是同样的道理，将一个点拆成入点和出点，从而该形式和边形式一模一样......

$\mathcal{Hall}$ 定理

对于二分图 $G=\lang V_1,V_2,E\rang $，不妨设 $|V_1|\le |V_2|$. 则 $\mathcal{Hall}$ 定理的内容为：

若满足相异性条件，则 $G$ 有完备匹配，反之亦然. 相异性条件指的是 $\forall Q\subset V_1,|Q|\le |N(Q)|$ .

必要性很直观？一方面，若存在完备匹配，不妨设 $M$ 为完备匹配，由于 $M$ 是将 $Q$ 中每个点与 $N(Q)$ 匹配，因此一定满足 $|Q|\le |N(Q)|$. 另一方面，若我们将 $E$ 定向，将边方向设为 $V_1\to V_2$，同时新增 $s,t$，即源汇点，设 $T$ 为删点使得 $s,t$ 不连通的最小点集，则 $maxflow=|M|=f_u(s,t)=g_u(s,t)=|T|$. 设 $T_1=T\cap V_1,T_2=T\cap V_2$，显然 $N(V_1\setminus T_1)\subset T_2$，因此：

\[|M|=|T|=|T_1|+|T_2|\ge |T_1|+|N(V_1\setminus T_1)|\ge |T_1|+|V_1\setminus T_1|=|V_1| \]

因此 $|M|\ge |V_1|$，显然 $M$ 同时满足 $|M|\le |V_1|$，因此 $|M|=|V_1|$. 至此，充要性证明完毕。

柯尼希定理

对于任意一个没有自环的图 $G$，满足 $\alpha(G)\le \beta(G)$. 因为匹配的边可以任选一个点加入点覆盖中，且不能保证加入完毕的点完全覆盖图。而柯尼希定理的内容为：

对于任意二分图 $G$，满足 $\alpha(G)=\beta(G)$.

显然，我们只需要证明 $\alpha(G)\ge \beta(G)$. 事实上，我们可以利用 $\mathcal {Hall}$ 定理直接证明 $\alpha(G)=\beta(G)$，即由 $\mathcal {Hall}$ 定理，$\alpha(G)=|M|=f_u(s,t)=g_u(s,t)=|T|=\beta(G)$.

$\mathcal{Vizing}$ 定理

若 $G$ 是简单图，则 $\delta(G)\le f(G)\le \delta(G)+1$. 特别地，若 $G$ 是二分图，则 $\delta(G)=f(G)$.

其证明目前暂不给出，由于它在二分图中有十分美妙的性质，我们考虑这个部分的证明。显然存在 $f(G)\ge \delta(G)$，接下来我们只需要证明 $f(G)\le \delta(G)$. 考虑对边数 $m$ 进行归纳：

当 $m=0$ 时，$\delta(G)=f(G)=0$；
设当 $m=k$ 时成立；
当 $m=k+1$ 时，设当前 $G=\lang V,E\rang$，再设 $e=(u,v)\in V$，令 $G'=\lang V,E\setminus e\rang$，考虑先对 $G'$ 染色，由于 $|E\setminus e|=k$，则 $f(G')\le \delta(G')\le \delta(G)$. 显然，对于 $G'$，一定有 $d_{G'}(u)<\delta(G)\land d_{G'}(v)<\delta(G)$. 因此，在对 $G'$ 染色时，一定存在某种颜色，它不在 $u$ 关联的边集中，对于 $v$ 同理。一方面，如果 $u,v$ 同时存在一种一样的、且没有出现过的颜色，那么直接对 $e$ 染上这一种即可，此时完成了 $G$ 的 $\delta(G)$ 染色；另一方面，若不存在这样一种颜色，我们则考虑证明限制最紧的一种情况：$u,v$ 均只有一种颜色没有出现过，即 $d_{G'}(u)=d_{G'}(v)=\delta(G)-1$. 设 $\gamma$ 表示 $u$ 中未出现过的颜色，$\sigma$ 为 $v$ 中未出现过的颜色，由前提，$\gamma$ 在 $v$ 中出现，$\sigma$ 在 $u$ 中出现。先将 $G'$ 中涂 $\gamma$ 或 $\sigma$ 的边找出来，设 $G_s'$ 为这些边的导出子图，接下来我们想要证明，在 $G'_s$ 中，$u,v$ 不连通：考虑反证法，若 $u,v$ 联通，由于 $u,v$ 分属左右部，因此路径 $P$ 的长度 $|P|$ 为奇数，此时的路径就相当于 $01$ 路径，一定是从 $\gamma$ 颜色（或者 $\sigma$ 颜色）开始，最终也是 $\gamma$ 颜色（或者 $\sigma$ 颜色）结束，其说明 $\gamma$ 色（或 $\sigma$ 色）同时存在于 $u,v$，与前提矛盾，故假设不成立。因此，$u,v$ 不连通，因此我们可以将 $G'_s$ 中与 $v$ 相连的边 $\gamma$ 与 $\sigma$ 色交换，然后将 $e$ 染成 $\gamma$ 色，这也完成了 $G$ 的 $\delta(G)$ 染色；

总结部分 ¶

总的来说，二分图有几个定理：

最大流最小割定理；
$\mathcal{Menger}$ 定理：任意图中，最大边不交路径条数等于最小消边数；最大点不交路径条数等于最小消点数；
$\mathcal{Hall}$ 定理：一张二分图中，若 $\forall S\in V_1,|S|\le |N(S)|$，则该二分图存在完备匹配；
柯尼希定理：二分图中，最大匹配等于最小点覆盖；
$\mathcal {Vizing}$ 定理：一张二分图一定可以 $\delta(G)$ 染色；

posted @ 2021-10-28 20:08 Arextre 阅读(349) 评论(1) 编辑收藏举报

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