[学习笔记]二分图の定理们

\[\color{red}{\text{校长者，真神人也，左马桶，右永神，会执利笔破邪炁，何人当之？}} \\ \begin{array}{|} \hline \color{pink}{\text{The principal is really a god}} \\ \color{pink}{\text{with a closestool on the left and Yongshen on the right}} \\ \color{pink}{\text{holding a sharp pen to pierce the truth}} \\ \color{pink}{\text{Who can resist him? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{green}{\text{校長は本当に神であり、左側にトイレ、右側にヨンシェンがあり}} \\ \color{green}{\text{鋭いペンを持って真実を突き刺している。誰が彼に抵抗できるだろうか？ }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{lightblue}{\text{Le principal est vraiment un dieu}} \\ \color{lightblue}{\text{avec des toilettes à gauche et Yongshen à droite}} \\ \color{lightblue}{\text{tenant un stylo pointu pour percer la vérité}} \\ \color{lightblue}{\text{Qui peut lui résister ? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{purple}{\text{Der Direktor ist wirklich ein Gott}} \\ \color{purple}{\text{mit einer Toilette links und Yongshen rechts}} \\ \color{purple}{\text{der einen spitzen Stift hält}} \\ \color{purple}{\text{um die Wahrheit zu durchdringen.}} \\ \color{purple}{\text{Wer kann ihm widerstehen? }} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|} \hline \color{cyan}{\text{Principalis deus est, Yongshen a dextris cum latrina}} \\ \color{cyan}{\text{acuto stylo ad perforandum veritatem: quis resistet ei? }} \\ \hline \end{array} \\ \color{red}{\text{对曰：“无人，狗欲当之，还请赐教！”}} \\ \newcommand\bra[1]{\left({#1}\right)} \newcommand\Bra[1]{\left\{{#1}\right\}} \newcommand\dx[0]{\text{dx}} \newcommand\string[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand\down[2]{{#1}^{\underline{#2}}} \newcommand\ddiv[2]{\left\lfloor\frac{#1}{#2}\right\rfloor} \newcommand\udiv[2]{\left\lceil\frac{#1}{#2}\right\rceil} \newcommand\lcm[0]{\operatorname{lcm}} \newcommand\set[1]{\left\{{#1}\right\}} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil{#1}\right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor{#1}\right\rfloor} \]

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记号与约定 ¶

1. 图：一个图 \(G\) 为一个二元组，即 \(G=\lang V,E\rang\).
2. 二分图：点集可以被恰好分成两个独立集 \(S,T\) 且 \(S\) 和 \(T\) 之间有边相连，\(S,T\) 内部没有的图是二分图；
3. 对于任意点集 \(S\)，定义 \(N(S)\) 为 \(S\) 的邻域，即 \(S\) 中所有节点的邻接点的并集；
4. 对于图 \(G\)，定义其点覆盖为一个点集 \(P\)，其满足 \(\forall e=(u,v)\in E,u\in P\lor v\in P\)，特别地，最小点覆盖为 \(P'(|P'|=\min(P))\)，记 \(|P'|=\beta(G)\)，定义其边覆盖为一个边集 \(R\)，其满足 \(\forall u\in V,\exists e\in R\;\text{s.t.}\;u\in e\)，最小边覆盖定理类似；
5. 对于图 \(G\)，定义其匹配为一个边集 \(Q\)，其满足 \(\forall e=(u,v)\in Q,u\notin e'\land v\neq e'(e'\in Q\setminus\{e\})\)，特别地，最大匹配为 \(Q'(|Q'|=\max(Q))\)，记 \(|Q'|=\alpha(G)\)；
6. 定义一个图的最大点度数为 \(\delta(G)\)，即 \(\delta(G)=\max(d_u|u\in V)\)；
7. 图的边色数问题：对图 \(G\) 的每条边涂上一种颜色，使得有公共点的边涂不同的颜色，若能用 \(k\) 种颜色给 \(G\) 的边着色就称对 \(G\) 的边进行了 \(k\) 着色，或称 \(G\) 是 \(k-\)边可着色的。若 \(G\) 是 \(k-\)边可着色，而不是 \((k-1)-\)边可着色的，就称 \(k\) 是 \(G\) 的边色数，记作 \(f(G)\)；
8. ......很多东西都可以在 \(\rm oi-wiki\) 上找到，就不赘述了；

定理部分 ¶

二分图判定

  二分图判定满足：\(G\) 是二分图 \(\Leftrightarrow\) \(G\) 的点色数为 \(2\) \(\Leftrightarrow\) \(G\) 中不存在奇环。

  一些特殊的二分图：树、偶环、每个面的次数是偶数的平面图（该图的对偶图（将面当成点）是欧拉图）、完全二分图、K-方体图.....

可图化问题

  给一个度数序列，问是否存在一个 图/简单图/二分图/简单二分图 满足度数序列。

  对于度数序列 \(D=(d_1,d_2,\cdots,d_n)(d_i\ge 0)\) 是可图化的当且仅当

\[\sum_{i=1}^nd_i\equiv 0\pmod 2 \]

  更强地，若 \(n-1\ge d_1\ge d_2\ge d_3\cdots\ge d_n\ge 0\)，则 \(D\) 是可简单图化当且仅当

\[\forall r\in [1,n-1],\sum_{i=1}^rd_i\le r(r - 1)+\sum_{j=r+1}^n\min\set{r,d_j}\land\sum_{i=1}^nd_i\equiv 0\pmod 2 \]

  事实上，后者就是每次将最大度数的点向次大、次次大.....总计 \(d_1\) 个点各连了一条边，然后归约为一个 \(n-1\) 个点的子问题，并且若子问题可图化，则原图可图化。以上便是在描述这个过程。

最大流最小割定理

  一个很经典的结论：\(flow=\text{cut}(S,T)\). 从直观上理解，每一个 \(\rm cut\) 相当于水管网络的一个截面，从 \(\rm source\) 到 \(\rm sink\) 的全部流量都要通过这个截面才能从一端到另一端。因此，任意截面的流量是总流量的上界。从线性规划的角度来看，最大流和最小割是对偶问题，因此最大流等于最小割。但此处讨论图论相关，便不引入线性规划。

  证明该结论之前，先介绍给出一些记号：

• \(x_{ij}:\) 从 \(i\) 到 \(j\) 的流量；
• \(c_{ij}:\) 从 \(i\) 到 \(j\) 的容量；

  然后进入证明部分：

\[\begin{align}{} flow&=\sum_{j=1}^nx_{sj}=\sum_{j=1}^nx_{sj}-\sum_{j=1}^nx_{js} \tag{1} \\ &=\sum_{i \in S}\bra{\sum_j x_{ij}–\sum_j x_{ji}} \tag{2} \\ &=\sum_{i \in S}\bra{\sum_{j \in S} x_{ij}+\sum_{j \in T} x_{ij}–\sum_{j \in S} x_{ji}-\sum_{j \in T} x_{ji}} \tag{3} \\ &=\sum_{i \in S}\sum_{j \in S}(x_{ij}-x_{ji})+\sum_{i \in S}\sum_{j \in T}(x_{ij}-x_{ji}) \tag{4} \\ &=\sum_{i \in S}\sum_{j \in T}(x_{ij}-x_{ji}) \tag{5} \\ &\le \sum_{i \in S}\sum_{j \in T}x_{ij} \tag{6} \\ &\le \sum_{i \in S}\sum_{j \in T}c_{ij}=cut(S,T) \tag{7} \end{align} \]

  一些说明：

• \((1)\)：没有点会向汇点流，因此后一项 \(\sum_{j=1}^nx_{js}=0\)；
• \((1)\to(2)\)：事实上对于其他 \(i\in S\setminus\set{s}\) 都有 \(\sum_{j}x_{ij}=\sum_{j}x_{ji}\)，所以只有当 \(i=s\) 时括号里面才有值。
• \((2)\to(3)\)：就是把点分成 \(S,T\) 两个部分而已；
• \((3)\to(4)\)：仅仅只是把括号拆开；
• \((4)\to(5)\)：显然前面那一项为 \(0\) ；
• \((5)\to(6)\to(7)\)：简单放缩而已；

  此时我们证明了最大流小于任意割，只需要取最紧的部分：\(flow\le \min(cnt(S,T))\)，若我们想要证明 \(flow=\min(cnt(S,T))\)，需要引入残留网络：

• 残留网络：对原图重新设置流量，若 \(flow\) 中 \(i\) 到 \(j\) 上的流量为 \(x_{ij}\)，那么残留网络的 \(c’_{ij}=c_{ij}-x_{ij}\)，另外 \(c'_{ji}=x_{ij}\) ；

  由于 \(flow\) 是最大流，所以残留网络中 \(s\) 到 \(t\) 不存在流量了，假设把 \(c'_{ij}=0\) 的边删掉，那么 \(s\) 和 \(t\) 不连通，定义 \(S\) 集为：当前残留网络中 \(s\) 能够到达的点。同时定义 \(T=V\setminus S\). 此时 \((S,T)\) 构成一个割 \((S,T)\). 对于任意的 \(u\in S,v\in T\)，有\(x_{uv}=c_{uv}\). 所以 \(flow=cut(S,T)\)，因为若 \(x_{uv}<c_{uv}\)，则有 \(x'_{uv}>0\)，即 \(s\) 可以到达 \(v\)，与 \(v\) 属于 \(T\) 矛盾.

\(\mathcal{Menger}\) 定理

  该定理有边、点两种形式，先看边形式：

  对于图 \(G=\lang V,E\rang\)，取 \(x\neq y\in V\)，设 \(P_e(x,y)\) 为 \(G\) 中从 \(x\) 到 \(y\) 的边不交的路径集合，设 \(f_e(x,y)=\max(|P_e(x,y)|)\)，设 \(g_e(x,y)\) 表示让 \(x,y\) 不连通，最少删除的边数，则 \(\mathcal {Menger}\) 定理的边形式即 \(f_e(x,y)=g_e(x,y)\).

  证明比较简单，不难看出 \(f_e(x,y)=maxflow,g_e(x,y)=mincut\)，由上文定理，有 \(f_e(x,y)=g_e(x,y)\).

  接下来看点形式：

  对于图 \(G=\lang V,E\rang\)，取 \(x\neq y\in V\land (x,y)\notin E\)，设 \(P_u(x,y)\) 为 \(G\) 中从 \(x\) 到 \(y\) 的点不交的路径集合，设 \(f_u(x,y)=\max(|P_u(x,y)|)\)，设 \(g_u(x,y)\) 表示让 \(x,y\) 不连通，最少删除的点数，则 \(\mathcal {Menger}\) 定理的点形式即 \(f_u(x,y)=g_u(x,y)\).

  证明是同样的道理，将一个点拆成入点和出点，从而该形式和边形式一模一样......

\(\mathcal{Hall}\) 定理

  对于二分图 $G=\lang V_1,V_2,E\rang $，不妨设 \(|V_1|\le |V_2|\). 则 \(\mathcal{Hall}\) 定理的内容为：

  若满足相异性条件，则 \(G\) 有完备匹配，反之亦然. 相异性条件指的是 \(\forall Q\subset V_1,|Q|\le |N(Q)|\) .

  必要性很直观？一方面，若存在完备匹配，不妨设 \(M\) 为完备匹配，由于 \(M\) 是将 \(Q\) 中每个点与 \(N(Q)\) 匹配，因此一定满足 \(|Q|\le |N(Q)|\). 另一方面，若我们将 \(E\) 定向，将边方向设为 \(V_1\to V_2\)，同时新增 \(s,t\)，即源汇点，设 \(T\) 为删点使得 \(s,t\) 不连通的最小点集，则 \(maxflow=|M|=f_u(s,t)=g_u(s,t)=|T|\). 设 \(T_1=T\cap V_1,T_2=T\cap V_2\)，显然 \(N(V_1\setminus T_1)\subset T_2\)，因此：

\[|M|=|T|=|T_1|+|T_2|\ge |T_1|+|N(V_1\setminus T_1)|\ge |T_1|+|V_1\setminus T_1|=|V_1| \]

  因此 \(|M|\ge |V_1|\)，显然 \(M\) 同时满足 \(|M|\le |V_1|\)，因此 \(|M|=|V_1|\). 至此，充要性证明完毕。

柯尼希定理

  对于任意一个没有自环的图 \(G\)，满足 \(\alpha(G)\le \beta(G)\). 因为匹配的边可以任选一个点加入点覆盖中，且不能保证加入完毕的点完全覆盖图。而柯尼希定理的内容为：

  对于任意二分图 \(G\)，满足 \(\alpha(G)=\beta(G)\).

  显然，我们只需要证明 \(\alpha(G)\ge \beta(G)\). 事实上，我们可以利用 \(\mathcal {Hall}\) 定理直接证明 \(\alpha(G)=\beta(G)\)，即由 \(\mathcal {Hall}\) 定理，\(\alpha(G)=|M|=f_u(s,t)=g_u(s,t)=|T|=\beta(G)\).

\(\mathcal{Vizing}\) 定理

  若 \(G\) 是简单图，则 \(\delta(G)\le f(G)\le \delta(G)+1\). 特别地，若 \(G\) 是二分图，则 \(\delta(G)=f(G)\).

  其证明目前暂不给出，由于它在二分图中有十分美妙的性质，我们考虑这个部分的证明。显然存在 \(f(G)\ge \delta(G)\)，接下来我们只需要证明 \(f(G)\le \delta(G)\). 考虑对边数 \(m\) 进行归纳：

• 当 \(m=0\) 时，\(\delta(G)=f(G)=0\)；
• 设当 \(m=k\) 时成立；
• 当 \(m=k+1\) 时，设当前 \(G=\lang V,E\rang\)，再设 \(e=(u,v)\in V\)，令 \(G'=\lang V,E\setminus e\rang\)，考虑先对 \(G'\) 染色，由于 \(|E\setminus e|=k\)，则 \(f(G')\le \delta(G')\le \delta(G)\). 显然，对于 \(G'\)，一定有 \(d_{G'}(u)<\delta(G)\land d_{G'}(v)<\delta(G)\). 因此，在对 \(G'\) 染色时，一定存在某种颜色，它不在 \(u\) 关联的边集中，对于 \(v\) 同理。一方面，如果 \(u,v\) 同时存在一种一样的、且没有出现过的颜色，那么直接对 \(e\) 染上这一种即可，此时完成了 \(G\) 的 \(\delta(G)\) 染色；另一方面，若不存在这样一种颜色，我们则考虑证明限制最紧的一种情况：\(u,v\) 均只有一种颜色没有出现过，即 \(d_{G'}(u)=d_{G'}(v)=\delta(G)-1\). 设 \(\gamma\) 表示 \(u\) 中未出现过的颜色，\(\sigma\) 为 \(v\) 中未出现过的颜色，由前提，\(\gamma\) 在 \(v\) 中出现，\(\sigma\) 在 \(u\) 中出现。先将 \(G'\) 中涂 \(\gamma\) 或 \(\sigma\) 的边找出来，设 \(G_s'\) 为这些边的导出子图，接下来我们想要证明，在 \(G'_s\) 中，\(u,v\) 不连通：考虑反证法，若 \(u,v\) 联通，由于 \(u,v\) 分属左右部，因此路径 \(P\) 的长度 \(|P|\) 为奇数，此时的路径就相当于 \(01\) 路径，一定是从 \(\gamma\) 颜色（或者 \(\sigma\) 颜色）开始，最终也是 \(\gamma\) 颜色（或者 \(\sigma\) 颜色）结束，其说明 \(\gamma\) 色（或 \(\sigma\) 色）同时存在于 \(u,v\)，与前提矛盾，故假设不成立。因此，\(u,v\) 不连通，因此我们可以将 \(G'_s\) 中与 \(v\) 相连的边 \(\gamma\) 与 \(\sigma\) 色交换，然后将 \(e\) 染成 \(\gamma\) 色，这也完成了 \(G\) 的 \(\delta(G)\) 染色；

总结部分 ¶

总的来说，二分图有几个定理：

• 最大流最小割定理；
• \(\mathcal{Menger}\) 定理：任意图中，最大边不交路径条数等于最小消边数；最大点不交路径条数等于最小消点数；
• \(\mathcal{Hall}\) 定理：一张二分图中，若 \(\forall S\in V_1,|S|\le |N(S)|\)，则该二分图存在完备匹配；
• 柯尼希定理：二分图中，最大匹配等于最小点覆盖；
• \(\mathcal {Vizing}\) 定理：一张二分图一定可以 \(\delta(G)\) 染色；