[CF1368G]Shifting Dominoes
壹、题目描述 ¶
贰、题解 ¶
考察空格子的移动方式 —— 把一个牌动一步，再在后面接上一个牌，再......中途的任意一步都可以停下，具体地，就是下面这一幅图：
不难看出，这种移动方式具有很强的图论性质，并且，从图论上看，每个点的出度均为 \(1\)，所以这个特别地图似乎是一个基环树？
的确，如果你从基环树上直接开始树 \(\mathrm{DP}\)，其实也是可以的，不过，对于环的处理是没有必要的，因为它并不存在环，接下来我们想要证明，这个图中是不存在环的：
首先确定出现环的情况，其实无非就是出现了一个长这样的图：
如果我们将每个格子的中心看成是一个点，那么这样一个环实际上构成了一个点阵多边形，而该多边形的面积我们是可以计算的：
\[S=I+\frac{B}{2}-1 \]其中 \(I\) 为内部的点，\(B\) 为边界上的点，\(S\) 为该点阵多边形的面积。
不妨使用反证法，假设这样的环存在，我们想要考察其内部是否存在矛盾，不妨从奇偶性上入手：
- \(B\) 显然为 \(2\) 的倍数，更强地，\(B\) 实际上为 \(4\) 的倍数，因为每个骨牌长度为 \(2\)，而我们想要围成这样的多边形一定需要偶数的骨牌；
- 由假设得，\(I\) 也一定为偶数，因为内部需要被骨牌覆盖完全；
- 多边形内部可以被分为多个 \(2\times 2\) 的部分，因此 \(S\) 一定为 \(4\) 的倍数；
- 根据上述条件，\(S-\frac{B}{2}+1\) 一定为奇数，不过，\(I=S-\frac{B}{2}+1\) 又须得为偶数，这与前提矛盾，故假设不成立；
由此，我们论述了这个图不存在环。
现在，我们考虑如何统计方案数。先考虑一个问题：一个骨牌的两个格子是否会相互影响？
答案是否定的，若我们将棋盘黑白染色，显然，空格的移动只会存在于相同颜色之间，所以，对于同一个骨牌，移除它之后，会在黑白中同时产生一个空格，而一个颜色的空格可以沿着我们建出来的树移动到某个子树中去，从 \(\mathrm{dfs}\) 序上讲，这个格子可以移动到某个区间中去。从黑白两个维度上讲，就是覆盖了一个矩阵中的任意一个点。
移除一个骨牌，一个矩阵都可以被实现，我们考虑每一个骨牌，事实上就是矩阵的并，这个就不难了，用扫描线加上线段树实现即可。
然而并没有代码 😃
