\[\color{red}{\text{校长者，真神人也，左马桶，右永神，会执利笔破邪炁，何人当之？}} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{pink}{\text{The principal is really a god}} \\
\color{pink}{\text{with a closestool on the left and Yongshen on the right}} \\
\color{pink}{\text{holding a sharp pen to pierce the truth}} \\
\color{pink}{\text{Who can resist him? }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{green}{\text{校長は本当に神であり、左側にトイレ、右側にヨンシェンがあり}} \\
\color{green}{\text{鋭いペンを持って真実を突き刺している。誰が彼に抵抗できるだろうか？ }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{lightblue}{\text{Le principal est vraiment un dieu}} \\
\color{lightblue}{\text{avec des toilettes à gauche et Yongshen à droite}} \\
\color{lightblue}{\text{tenant un stylo pointu pour percer la vérité}} \\
\color{lightblue}{\text{Qui peut lui résister ? }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{purple}{\text{Der Direktor ist wirklich ein Gott}} \\
\color{purple}{\text{mit einer Toilette links und Yongshen rechts}} \\
\color{purple}{\text{der einen spitzen Stift hält}} \\
\color{purple}{\text{um die Wahrheit zu durchdringen.}} \\
\color{purple}{\text{Wer kann ihm widerstehen? }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{cyan}{\text{Principalis deus est, Yongshen a dextris cum latrina}} \\
\color{cyan}{\text{acuto stylo ad perforandum veritatem: quis resistet ei? }} \\
\hline
\end{array} \\
\color{red}{\text{对曰：“无人，狗欲当之，还请赐教！”}} \\
\newcommand\bra[1]{\left({#1}\right)}
\newcommand\Bra[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand\dx[0]{\text{dx}}
\newcommand\string[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}}
\newcommand\down[2]{{#1}^{\underline{#2}}}
\newcommand\ddiv[2]{\left\lfloor\frac{#1}{#2}\right\rfloor}
\newcommand\udiv[2]{\left\lceil\frac{#1}{#2}\right\rceil}
\newcommand\lcm[0]{\operatorname{lcm}}
\newcommand\set[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil{#1}\right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}
\]
我愿称这场比赛为降维打击......
Problem A. F
给两个数列 \(a_i,b_i\)，你要找到一个排列 \(\sigma\)，使得每个 \(a_i\oplus b_{\sigma_i}=x\) 都相等。你要输出所有可能的 \(x\).
保证 \(n\le 2000,0\le a_i,b_i\le 10^9\).
感觉曾经在哪里做过......我们可以直接枚举 \(a_1\) 究竟是跟谁匹配，得到这个可能的 \(x\) 之后检查剩下的 \(a_i\) 是否都能找到自己的配对对象。使用 map 让这个题复杂度达到了 \(\mathcal O(n^2\log n)\).
Problem B. S
有 \(n\) 个球，每个球有 \(\tt R,G,Y\) 三种颜色，现在小 \(\sf F\) 觉得如果有两个相邻的球颜色相同很丑。他每次可以交换两个球，问至少交换多少次才能不丑。如果无法不丑输出 \(-1\).
保证 \(n\le 400\).
真的被降智了......显然每种颜色的球相对位置不会发生改变，如果我们知道了最终的序列样子，那么交换次数便也可以被确定。
不妨考虑 \(\rm DP\)，在 \(\rm DP\) 状态中将当前与序列样子有关的状态记录下来，设 \(f(n,i,j,0|1|2)\) 表示当前在位置 \(n\)，红色使用了 \(i\)，绿色使用了 \(j\)，当前位置填色 \(0|1|2\) 的最小交换次数，于是就可以进行转移，转移的花费实际上就是逆序对的数量，记录一下颜色的位置即可。
注意，空间不够，需要滚动一维，时间复杂度 \(\mathcal O(n^3)\).
Problem C. Y
有 \(n\) 个人站成一个圈，每个人有 \(a_i\) 个球，下面要进行一次操作：
- 每个人把一些它的球交给它左边的人，所有人同时进行。
在进行完该操作之后，每个人有 \(b_i\) 个球，记这个序列为 \(B\). 对于每种 \(B\)，它的价值为 \(\prod b_i\).
对于所有可能的 \(B\)，你要计算它们的价值和，对 \(10^9 + 7\) 取模。
这是 \(\rm Atcoder\) 的原题，传送门 to Atcoder. 可以发现除了模数不一样，其他的都差不多。
设 \(c_i\) 表示第 \(i\) 个人往后面传了 \(c_i\) 个球，不难发现，若 \(\forall c_i>0\)，那么我们可以整体减去 \(1\)，因为这不会对最终我们得到的 \(B\) 产生影响，往复下去，不难发现最终一定会出现 \(c_i=0\) 的位置，即表示这个人并没有向后传球，于是，我们可以枚举这个不传球的懒家伙，从他开始破环为链。
可以设计状态 \(f(i,j)\) 表示第 \(i\) 个人向后传了 \(j(j>0)\) 个球的方案数。那么，存在转移
\[f(i,j)=\sum_{k=1}^{a_{i-1}}(a_i-j+k)\times f(i-1,k)
\]
对于这个转移，我们只需要维护 \(\sum_{j}f(i,j)\) 以及 \(\sum_{j}j\times f(i,j)\).
我们尝试维护这俩东西，若
\[s_i^{[1]}\overset\Delta=\sum_{j=1}^{a_i} f(i,j) \\
s_i^{[2]}\overset\Delta=\sum_{j=1}^{a_i}j\times f(i,j)
\]
则
\[\begin{aligned}
s_i^{[1]}&=\sum_{j=1}^{a_i}(a_i-j+k)\times f(i-1,k) \\
&=\bra{a_i^2-2\mathrm{sum}(a_i)}s_{i-1}^{[1]}+a_is_{i-1}^{[2]} \\
s_i^{[2]}&=\sum_{j=1}^{a_i}(a_i-j+k)\times j\times f(i-1,k) \\
&=(a_i\times \mathrm{sum}(a_i)-\mathrm{squa}(a_i))s_{i-1}^{[1]}+\mathrm{sum}(a_i)\times s_{i-1}^{[2]}
\end{aligned}
\]
于是我们可以把它搬到矩阵上面：
\[\begin{pmatrix}
s_{i-1}^{[1]}&s_{i-1}^{[2]}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
\bra{a_i^2-2\mathrm{sum}(a_i)} & a_i\times \mathrm{sum}(a_i)-\mathrm{squa}(a_i)\\
a_i & \mathrm{sum}(a_i)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
s_{i}^{[1]}&s_{i}^{[2]}
\end{pmatrix}
\]
我们可以维护一个转移矩阵的前后缀乘积，可以做到枚举开始点 \(\mathcal O(n)\)，获得最终转移值 \(\mathcal O(1)\) 的复杂度。
当然，你也可以使用 \(\rm Atcoder\) 上给出的容斥，个人感觉后者更好，并且常数更小。
