[LOJ6671]EntropyIncreaser 与 Minecraft
壹、题目描述 ¶
贰、题解 ¶
每一维都是一样的，不难看出每一维的生成函数为
\[-1+\sum_{i=0}^\infty 2x^i={1+x\over 1-x}
\]
那么，总方案数的生成函数为
\[\left({1+x\over 1-x}\right)^n
\]
由于我们想要求前缀和，所以再卷上一个 \({1\over 1-x}\)，得到
\[F(n)={(1+x)^n\over (1-x)^{n+1}}
\]
试图将其泰勒展开，不难得到前几项为
\[\begin{matrix}
&1 \\
&1&2n \\
&2&4n&4n^2 \\
&6&16n&12n^2&8n^3 \\
&24&64n&80n^2&32n^3&16n^4 \\
&120&368n&400n^2&320n^3&80n^4&32n^5
\end{matrix}
\]
使用 \((2n+1)^k\) 显然是可以拟合的，但是还需要补上一些项，不难发现最后的递推式为
\[f_i=(2n+1)f_{i-1}+(i-1)^2f_{i-2}
\]
但是需要注意的是，这个递推式忽略了泰勒展开的 \(i!\)，所以最后还要除以 \(i!\).
时间复杂度 \(\mathcal O(p)\).
\(\mathrm{update\;on\;2021/10/22}\)：突然发现的确不用展开，展开是不必要的，我们考虑 \(F(n)=(1+x)^n(1-x)^{-(n+1)}\) 的高阶导数：
\[F'(n)=n(1+x)^{n-1}(1-x)^{-n+1}+(n+1)(1-x)^{-n-2}(1-x)^n \\
\cdots
\]
然后不难发现，事实上：
\[\begin{aligned}{}
[x^m]F(n)&=\sum_{i=0}^m{m\choose i}n^{\underline i}\cdot (n+1)^{\overline {m-i}} \\
&=\sum_{i=0}^m{n\choose i}{n+m-i\choose m-i}m!
\end{aligned}
\]
后面那个 \(m!\) 就是泰勒展开被除掉的东西，也就是说，其实 \(f_m=\sum_{i=0}^m{n\choose i}{n+m-i\choose m-i}\)，至于为什么存在该递推式，还真不得知。先写一点后面的推倒（可能错了？）
\[\begin{aligned}{}
f_i&=(2n+1)f_{i-1}+(i-1)^2f_{i-2} \\
g_i&=\frac{2n+1}{i}g_{i-1}+\frac{i-1}{i}g_{i-2} \\
g'&=(2n+1)gx+g'\cdot x^3
\end{aligned}
\]
其实是想倒着推回去而已，不过我又不会了
叁、参考代码 ¶
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
#define NDUBUG
#include<cassert>
namespace Elaina{
#define rep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i<=i##_end_; ++i)
#define drep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i>=i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define Endl putchar('\n')
#define mmset(a, b) memset(a, b, sizeof a)
// #define int long long
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
template<class T>inline T fab(T x){ return x<0? -x: x; }
template<class T>inline void getmin(T& x, const T rhs){ x=min(x, rhs); }
template<class T>inline void getmax(T& x, const T rhs){ x=max(x, rhs); }
template<class T>inline T readin(T x){
x=0; int f=0; char c;
while((c=getchar())<'0' || '9'<c) if(c=='-') f=1;
for(x=(c^48); '0'<=(c=getchar()) && c<='9'; x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f? -x: x;
}
template<class T>inline void writc(T x, char s='\n'){
static int fwri_sta[1005], fwri_ed=0;
if(x<0) putchar('-'), x=-x;
do fwri_sta[++fwri_ed]=x%10, x/=10; while(x);
while(putchar(fwri_sta[fwri_ed--]^48), fwri_ed);
putchar(s);
}
}
using namespace Elaina;
const int Mod=1e9+7;
const int maxn=1e6;
const int maxp=1e6;
int f[maxn+5], n, p;
inline int qkpow(int a, int n){
int ret=1;
for(; n>0; n>>=1, a=1ll*a*a%Mod)
if(n&1) ret=1ll*ret*a%Mod;
return ret;
}
signed main(){
n=readin(1), p=readin(1);
f[0]=1, f[1]=2*n+1;
for(int i=2; i<=p; ++i)
f[i]=(1ll*(2*n+1)*f[i-1]%Mod+1ll*(i-1)*(i-1)%Mod*f[i-2]%Mod)%Mod;
int fac=1;
for(int i=1; i<=p; ++i) fac=1ll*fac*i%Mod;
writc(1ll*f[p]*qkpow(fac, Mod-2)%Mod);
return 0;
}
肆、关键之处 ¶
生成函数总是多维度分开考虑，然后暴力卷起来......当然，前提是这几维互不相关。
