[学习笔记]线代战争

\[\newcommand\vec[1]{{\overrightarrow{#1}}} \newcommand\rank{{\text{rank}}} \]

目录

• 壹、前言 ¶
• 贰、餐前芝士 ¶
  • ◆ 矩阵运算
  • ◆ 矩阵的秩
  • ◆ 矩阵的行列式
  • ◆ 单位阵
  • ◆ 矩阵的值域？
    • ◆ \(\dim\) 与 \(\ker\)
• 叁、一些更厉害的东西 ¶
  • ◆ 矩阵的逆元
  • ◆ 关于行列式与秩
    • 乘法与秩
    • 满秩与行列式
    • 行列式与矩阵乘法 —— \(\rm Binet-Cauchy\) 公式​

壹、前言 ¶

虽然线性代数也只会一点，无奈这几天又讲矩阵，所以，我是大傻逼。

贰、餐前芝士 ¶

◆ 矩阵运算

自己康康吧，不说了。

◆ 矩阵的秩

矩阵的列向量张成空间 \(V\)​ 的维数，一个矩阵的秩记为 \(\rank(A)\)​. 另一个角度可以理解为线性无关的向量个数。

若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。当然，如果 \(A\) 是一个正方形（？方阵...）那么这两个没啥区别。

◆ 矩阵的行列式

对于矩阵 \(A_{n\times n}\)，其行列式为 \(\det(A)\)，计算时一般先将 \(A\) 消成一个上三角矩阵，再进行计算。

当 \(A\)​ 不是满秩矩阵时，一定有 \(\det(A)=0\).

◆ 单位阵

一般单位阵记为 \(I\)，即主对角线上全是 \(1\)，其他都是 \(0\) 的矩阵。

◆ 矩阵的值域？

一个记号，一个矩阵的值域记为 \(\Im(A)\).

◆ \(\dim\) 与 \(\ker\)

\(\dim\) 即维数，即若 \(\vec v\in \R^n\)，那么 \(\dim(\vec v)=n\) .

对于一个矩阵

\[A= \left(\begin{matrix} \vec{x_1} \\ \vec{x_2} \\ \vdots \\ \vec{x_n} \end{matrix}\right) \]

其中 \(\vec{x_i}\in \R^n\)，若记 \(B=\vec \alpha\times A(\vec \alpha\neq \vec 0)\)，那么

\[\dim(B)=\dim(B^T)=\dim(\Im(A))=\rank(A) \]

而 \(\dim\ker A\)​​ 则可以形象理解为一个向量 \(\vec\alpha\)​ 满足和 \(A\)​ 中所有向量内积均为 \(0\)​​ 时，可以任意变换的维数，那么一定有

\[\dim\ker(A)=n-\rank(A) \]

叁、一些更厉害的东西 ¶

◆ 矩阵的逆元

矩阵的逆元即满足

\[A\times A^{-1}=I \]

使用高斯消元就可以了。但是请注意，非满秩矩阵并没有逆元。

◆ 关于行列式与秩

乘法与秩

存在不等式

\[\rank(AB)\le \rank(A)\;\and\;\rank(AB)\le\rank(B) \]

比较好理解吧？

满秩与行列式

非满秩方阵行列式为 \(0\)​，满秩矩阵行列式非 \(0\).

行列式与矩阵乘法 —— \(\rm Binet-Cauchy\) 公式​

对于一个 \(A_{n\times m}\) 和 \(B_{m\times n}\)​，考察 \(\det(AB)\)​，那么：

若 \(n>m\)，那么 \(\det(AB)=0\)，因为 \(AB\) 显然不满秩。

若 \(n\le m\)，那么满足

\[\det(AB)=\sum_{i_1<i2<i3<...<i_n}\det\left(\left(A_{i_1}|A_{i2}|...|A_{i_n}\right)\right)\times \det\left(\left(B^T_{i_1}|B^T_{i_2}|...|B^T_{i_n}\right)\right) \]

特别地，当 \(B=A^T\) 时，有

\[\det(AA^T)=\sum_{i_1<i2<i3<...<i_n}\det\left(\left(A_{i_1}|A_{i2}|...|A_{i_n}\right)\right)^2 \]

就是取出 \(A\) 的对应行，与 \(B\) 的对应列（一边取 \(n\) 个），然后拼起来，形成的两个矩阵各自的行列式的乘积，然后对于所有取得方式求和。

知乎的这里还有一些介绍。