[ARC123C]1, 2, 3 - Decomposition
壹、题目描述 ¶
贰、题解 ¶
前言
只能说什么结论都想不到了，真的啊......至少打个表嘛，这样或许还能发现 \(\forall i,f(i)\le 5\) 这个结论......
正文
将用 \(1,2,3\) 组成的数成为好的。那么我们的题意就变成，对于一个 \(N\)，最少需要多少个好的数能够组成它。
◆ 好数之和的结构
我们将一个数 \(A_i\) 写成 \(A_i=10a_i+b_i\)，那么，如果 \(A_i\) 是好的，它一定同时满足：
- \(b_i\in\{1,2,3\}\)；
- \(a_i\) 是一个好数或者 \(0\)；
所以，如果一个数能够被 \(K\) 个好数之和所表示，一定是以下两部分之和：
- 一个在 \([K,3K]\) 范围内的整数；
- 至多 \(K\) 个好数之和乘上 \(10\)；
然后，我们可以使用一个比较暴力的 \(\rm DP\) 来解决问题。
◆ \(\rm DP\) 的设计
定义 \(f(i)\) 表示 \(i\) 最少可以被多少好数之和所表示。
假设对于 \(N\)，我们已经知道了 \(f(x)(x<N)\) 的值，那么，我们可以设计下面的转移：
首先，暴力从小开始枚举一个 \(K\)，表示 \(N\) 能被多少好数所表示，那么我们这样转移：
- 枚举一个 \(r\in[K,3K]\)；
- 如果存在 \(x\) 满足 \(N=10x+r\;\and\;f(x)\le K\)，那么 \(N\) 即可表示为 \(K\) 个好数之和；
至于复杂度？似乎和 \(K\) 有关。但是 \(K\) 上界会是多少呢？
◆ \(K\) 的上界以及时间复杂度
对于 \(K\) 的上界，我们可以使用归纳法证明：
- \(\forall i\in [1,10],f(i)\le 5\)，打表或者手玩.....；
- \(\forall N>10,\exists K\le 5,r\in[K,3K]\;\text{s.t.}\;N-r=\left\lfloor{N\over 10}\right\rfloor\)，所以上界很容易发现是 \(5\)，这是最大情况了；
那么，复杂度就有了保障，我们不用做 \(\rm DP\)，直接暴力搜就可以了。
叁、关键之处 ¶
显然，题解分析是从 好数本身 再到 好数之和，有时候不要太冒进了，分析基础的东西才是关键。
