[ARC123C]1, 2, 3 - Decomposition

壹、题目描述 ¶

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贰、题解 ¶

前言

只能说什么结论都想不到了，真的啊......至少打个表嘛，这样或许还能发现 $\forall i,f(i)\le 5$ 这个结论......

正文

将用 $1,2,3$ 组成的数成为好的。那么我们的题意就变成，对于一个 $N$，最少需要多少个好的数能够组成它。

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◆ 好数之和的结构

我们将一个数 $A_i$ 写成 $A_i=10a_i+b_i$，那么，如果 $A_i$ 是好的，它一定同时满足：

• $b_i\in\{1,2,3\}$；
• $a_i$ 是一个好数或者 $0$；

所以，如果一个数能够被 $K$ 个好数之和所表示，一定是以下两部分之和：

1. 一个在 $[K,3K]$ 范围内的整数；
2. 至多 $K$ 个好数之和乘上 $10$；

然后，我们可以使用一个比较暴力的 $\rm DP$ 来解决问题。

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◆ $\rm DP$ 的设计

定义 $f(i)$ 表示 $i$ 最少可以被多少好数之和所表示。

假设对于 $N$，我们已经知道了 $f(x)(x<N)$ 的值，那么，我们可以设计下面的转移：

首先，暴力从小开始枚举一个 $K$，表示 $N$ 能被多少好数所表示，那么我们这样转移：

• 枚举一个 $r\in[K,3K]$；
• 如果存在 $x$ 满足 $N=10x+r\;\and\;f(x)\le K$，那么 $N$ 即可表示为 $K$ 个好数之和；

至于复杂度？似乎和 $K$ 有关。但是 $K$ 上界会是多少呢？

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◆ $K$ 的上界以及时间复杂度

对于 $K$ 的上界，我们可以使用归纳法证明：

• $\forall i\in [1,10],f(i)\le 5$，打表或者手玩.....；
• $\forall N>10,\exists K\le 5,r\in[K,3K]\;\text{s.t.}\;N-r=\left\lfloor{N\over 10}\right\rfloor$，所以上界很容易发现是 $5$，这是最大情况了；

那么，复杂度就有了保障，我们不用做 $\rm DP$，直接暴力搜就可以了。

叁、关键之处 ¶

显然，题解分析是从 好数本身 再到 好数之和，有时候不要太冒进了，分析基础的东西才是关键。