[ARC123]Training
壹、题目描述 ¶
贰、题解 ¶
前言
坐在 \(\sf closestool\) 旁边真的绝望了，当你正在做 \(B\) 时，祂过了 \(C\)；当你看到 \(C\) 并发现自己不会时，祂过了 \(D\)；当你看到 \(D\) 并发现自己不会时，你心中只剩下一句话：
夫哀莫大于心死，而人死亦次之。——庄子
这就像评论区里面的一张图：
不过后来我发现我用错了，因为我找到了完整的图：
然后我看到 \(E\)，发现好像可以搞一搞，然后设计出一个算法，大概证明了一下复杂度可能在 \(\mathcal O(T\sqrt {\max\{B_x,B_y\}})\) 左右（不过证伪了），发现过掉了 😃
赛后 \(\sf closestool\) 也尝试证明，并被我成功带偏，承认复杂度 “正确”。不过第二天早上祂给了我一个 \(\rm hack\) 数据：
200000
1000000000
4 300000 1 299999
1000000000
4 300000 1 299999
1000000000
4 300000 1 299999
1000000000
4 300000 1 299999
...
1000000000
4 300000 1 299999
这样会跑满 \(\mathcal O(TN)\)，不过运气好确实也会碰上水数据，比如 \(20210719\) 的 \(A\)，\(\mathcal O(3^{20})\) 随便跑，\(\mathcal O(n^{n-1})\) 更是让我人傻了......但是可以学到正解的时候还是要钻研啊。
正文
题目让你求
这里有一个虚假的做法：
我们可以猜想相交的段不会太多，并且有一个特点，跑得快的函数与跑得慢的函数相差为 \(2\) 后，两个函数将不会有交，所以，我们可以先使用二分找到跑得快的函数差 \(1\) 追上跑得慢的函数，然后使用类似分块（实际上要慢得多）的做法，暴力算这些段是否相交，然后就有了一个代码：
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
// #define NDEBUG
#include<cassert>
namespace Elaina{
#define rep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i<=i##_end_; ++i)
#define drep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i>=i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define Endl putchar('\n')
#define mmset(a, b) memset(a, b, sizeof a)
// #define int long long
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
template<class T>inline T fab(T x){ return x<0? -x: x; }
template<class T>inline void getmin(T& x, const T rhs){ x=min(x, rhs); }
template<class T>inline void getmax(T& x, const T rhs){ x=max(x, rhs); }
template<class T>inline T readin(T x){
x=0; int f=0; char c;
while((c=getchar())<'0' || '9'<c) if(c=='-') f=1;
for(x=(c^48); '0'<=(c=getchar()) && c<='9'; x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f? -x: x;
}
template<class T>inline void writc(T x, char s='\n'){
static int fwri_sta[1005], fwri_ed=0;
if(x<0) putchar('-'), x=-x;
do fwri_sta[++fwri_ed]=x%10, x/=10; while(x);
while(putchar(fwri_sta[fwri_ed--]^48), fwri_ed);
putchar(s);
}
}
using namespace Elaina;
int n;
pii a, b;
inline int bisearch(){
int l=1, r=n, mid, ret=1;
while(l<=r){
mid=(l+r)>>1;
int va=a.fi+(mid/a.se), vb=b.fi+(mid/b.se);
if(va<vb) r=mid-1;
else if(va==vb) r=mid-1;
else if(va==vb+1) ret=mid, r=mid-1;
else l=mid+1;
}
return ret;
}
inline void solve(){
n=readin(1);
a.fi=readin(1), a.se=readin(1);
b.fi=readin(1), b.se=readin(1);
if(a.fi<b.fi || (a.fi==b.first && a.se<b.se)) swap(a, b);
// the same
if(a.fi==b.fi && a.se==b.se)
return writc(n), void();
// no crossing
if(a.fi>b.fi && a.se<=b.se)
return writc(0), void();
// the gap is too large
if(a.fi+(n/a.se)>b.fi+(n/b.se)+2)
return writc(0), void();
int l=bisearch(); // find the first position where b+1 == a
int ans=0;
for(int r; l<=n; l=r+1){
r=min(((l/a.se)+1)*a.se, ((l/b.se)+1)*b.se)-1;
r=min(r, n);
if(a.fi+(l/a.se)==b.fi+(l/b.se))
ans+=(r-l+1);
else if(b.fi+(l/b.se)-(a.fi+(l/a.se))>2)
break;
}
writc(ans);
}
signed main(){
rep(_, 1, readin(1)) solve();
return 0;
}
至于它为什么会被上面的数据卡，可以自己想一想原因。
至于官方做法，它也很玄学了，首先
然后我们再定义 \(F(x)=\left\lfloor f(x)\right\rfloor,G(x)=\left\lfloor g(x)\right\rfloor\)，那么问题就变成了
并且，我们不难发现，当 \(F(x)=G(x)\) 时，\(f(x)-g(x)\) 是接近 \(0\) 的，于是我们可以进行分类讨论：
- 当 \(f(x)<g(x)-1\) 时，\(F(x)\neq G(x)\)；
- 当 \(g(x)-1\le f(x)<g(x)\) 时，\(F(x)\in\{G(x)-1,G(x)\}\)（可能没有 \(G(x)\)，下同）；
- 当 \(g(x)\le f(x)<g(x)+1\) 时，\(F(x)\in\{G(x),G(x)+1\}\)；
- 当 \(f(x)\ge g(x)+1\) 时，\(F(x)\neq G(x)\)；
不难发现，只有两段可能存在 \(F(x)=G(x)\)，我们可以只在这两段计算答案，此时我们成功将答案的范围缩小了许多。至于这两段的边界，由于 \(f,g\) 不涉及下取整，可以很轻易地使用简单不等式的运算解出来。
现在，考虑我们面临的问题是什么：
有 \(x\in [L,R)\)，并且两个函数满足 \(F(x)\in\{G(x),G(x)+1\},x\in[L,R)\)，有多少个 \(x\in Z\cap[L,R)\) 满足 \(F(x)=G(x)\) ？
题目有很好的转化：
对于另一种情况也是一样。并且绝对值里面的两个 \(\sum\) 可以使用前缀和作差，那么我们最后要求的就是
至于这个，不用我多说了吧，这甚至可以 \(\Theta(1)\) 计算，简单推式子就行了。
所以复杂度甚至可以达到 \(\mathcal O(T)\).
叁、参考代码 ¶
咕咕咕......
肆、关键之处 ¶
合理缩小答案范围，而在此范围内有很好的性质，那么就可以加以利用了。
