[CF407E]k-d-sequence
壹、题目描述 ¶
贰、题解 ¶
一般情形，如果 \(d\neq 0\)，那么一段区间 \([L,R]\) 合法的基础条件是
那么，我们得特别处理一下 \(d=0\)，可以 \(\mathcal O(n)\) 扫一遍，不赘述。
对于 \(d>0\) 的情况，我们可以将一段取模 \(d\) 余数相同的区间拿出来单独处理。
现在，我们有了一段可能会出现答案的区间 \([L,R]\)，并将它们拿出来单独处理，我们假设将它们放到一个新的数组 \(b\) 上，现在，我们考虑如何在这个数组上得到合法的区间。我们可以先令 \(b_i\leftarrow \left\lfloor{b_i\over d}\right\rfloor\)，因为我们不用担心余数问题了。
先搞清楚限制条件，对于 \(b\) 的一段区间 \([L,R]\)，合法的条件是
也就是我们需要得到一个区间的最大或最小值，但是还有 \(L,R\)，这怎么处理？
考虑依次移动右端点，维护每个左端点对应上述的值，那么，现在右端点在我们手上，即右端点可以看做是 “固定” 的，对于每个左端点，我们需要维护 \([L,R]\) 的最大值和最小值，这个时候引入单调栈+线段树！具体来说，维护单增单减的两个栈，单增栈维护最小值，单减栈维护最大值，可以这样看：
对于红色的这个值，它负责的就是 \([i+1,j]\) 这个区间的最小值。
或者说我们为什么要使用单调栈，其本质原因是随着 \(L\) 的变小，它的 最小值/最大值 只会逐渐往极端走，不可能会 “回转”。
对于单减的栈原理也是一样。
当我们移动 \(R\) 时，要将 \(b_R\) 加入这两个栈，举单增的栈（维护最小值）来说：当我们要将 \(i\) 弹出栈时，设 \(i\) 后一个元素为 \(j\)，我们需要将 \([j+1,i]\) 都先加上 \(b_i\)，因为这原来是 \(b_i\) 负责这段区间的最小值，现在换成 \(b_R\) 后，先将 \(b_i\) 的影响去掉，当我们遇到 \(k\) 而弹不动时，退出循环，再将 \([k+1,R]\) 都整体减去 \(b_R\)，因为此时 \(b_R\) 是这段区间的最小值。
而当我们移动 \(R\) 时，要注意将整个区间（不同于 \([1,R]\)）都减去 \(1\)，而将 \(R\) 这个单点加上 \(R\)（因为有 \(+L\) 这个项，而线段树本质是在维护每个 \(L\) 对应的上述表达式的值，而 \(R\) 同时也是一个新的左端点）。
处理完这些之后，在线段树上二分找到最小的 \(L\) 满足上述表达式小于等于 \(k\) 即可。
但是需要处理一个问题 —— 出现重复的数，假设加入 \(b_R\)，发现其重复出现，上一次出现的位置在 \(p\)，那么我们只需要令所有 \([1,p]\) 的线段树上的值为 \(+\infty\) 即可 —— 这样线段树二分时这段区间必然不满足其值小于等于 \(k\).
总的复杂度就是 \(\mathcal O(n\log n)\) 了。
叁、参考代码 ¶
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<stack>
using namespace std;
// #define NDEBUG
#include<cassert>
namespace Elaina{
#define rep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i<=i##_end_; ++i)
#define drep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i>=i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define Endl putchar('\n')
#define mmset(a, b) memset(a, b, sizeof a)
// #define int long long
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
template<class T>inline T fab(T x){ return x<0? -x: x; }
template<class T>inline void getmin(T& x, const T rhs){ x=min(x, rhs); }
template<class T>inline void getmax(T& x, const T rhs){ x=max(x, rhs); }
template<class T>inline T readin(T x){
x=0; int f=0; char c;
while((c=getchar())<'0' || '9'<c) if(c=='-') f=1;
for(x=(c^48); '0'<=(c=getchar()) && c<='9'; x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f? -x: x;
}
template<class T>inline void writc(T x, char s='\n'){
static int fwri_sta[1005], fwri_ed=0;
if(x<0) putchar('-'), x=-x;
do fwri_sta[++fwri_ed]=x%10, x/=10; while(x);
while(putchar(fwri_sta[fwri_ed--]^48), fwri_ed);
putchar(s);
}
}
using namespace Elaina;
const int maxn=2e5;
const int inf=1e9+1;
int n, k, d;
int a[maxn+5];
inline void input(){
n=readin(1), k=readin(1), d=readin(1);
rep(i, 1, n) a[i]=readin(1)+inf;
}
namespace special{
inline int launch(){
int len=1, l=1, cur=1;
rep(i, 2, n){
if(a[i]==a[i-1]) ++cur;
else cur=1;
if(cur>len) len=cur, l=i-cur+1;
}
writc(l, ' '), writc(l+len-1);
return 0;
}
}
int len, l, s;
namespace saya{
ll tag[maxn<<2|2], mn[maxn<<2|2];
#define ls (i<<1)
#define rs (i<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
#define _lq ls, l, mid
#define _rq rs, mid+1, r
void build(int i, int l, int r){
tag[i]=mn[i]=0;
if(l==r) return;
build(_lq), build(_rq);
}
inline void update(int i, ll x){ tag[i]+=x, mn[i]+=x; }
inline void pushup(int i){ mn[i]=min(mn[ls], mn[rs]); }
inline void pushdown(int i){
update(ls, tag[i]), update(rs, tag[i]);
tag[i]=0;
}
void modify(int i, int l, int r, int L, int R, ll x){
if(L<=l && r<=R) return update(i, x);
if(tag[i]) pushdown(i);
if(L<=mid) modify(_lq, L, R, x);
if(mid<R) modify(_rq, L, R, x);
pushup(i);
}
int query(int i, int l, int r, int k){
if(mn[i]>k) return -1;
if(l==r) return l;
if(tag[i]) pushdown(i);
if(mn[ls]<=k) return query(_lq, k);
return query(_rq, k);
}
void check(int i, int l, int r){
if(l==r) return printf("val[%d] == %lld\n", l, mn[i]), void();
if(tag[i]) pushdown(i);
check(_lq), check(_rq);
}
#undef ls
#undef rs
#undef mid
#undef _lq
#undef rq
}
map<int, int>pos;
stack<int>up, down;
int b[maxn+5];
inline void solve(int L, int R){
/** prelude */
s=R-L+1;
rep(i, L, R) b[i-L+1]=a[i]/d;
/** some clear */
saya::build(1, 1, s); pos.clear();
while(!up.empty()) up.pop();
while(!down.empty()) down.pop();
up.push(0), down.push(0);
/** enumerate the right endpos */
rep(i, 1, s){
saya::modify(1, 1, s, 1, s, -1); saya::modify(1, 1, s, i, i, i);
/** @p inf shoule be large enough, but it shouldn't to too large */
if(pos.count(b[i])) saya::modify(1, 1, s, 1, pos[b[i]], inf);
pos[b[i]]=i;
/** maintain the minimum value */
while(up.top() && b[up.top()]>b[i]){
int pre=up.top(); up.pop();
saya::modify(1, 1, s, up.top()+1, pre, b[pre]);
}
saya::modify(1, 1, s, up.top()+1, i, -b[i]);
up.push(i);
/** maintain the maximum value */
while(down.top() && b[down.top()]<b[i]){
int pre=down.top(); down.pop();
saya::modify(1, 1, s, down.top()+1, pre, -b[pre]);
}
saya::modify(1, 1, s, down.top()+1, i, b[i]);
down.push(i);
/** DEBUG */
// printf("When i == %d, the segment tre:>\n", i);
// saya::check(1, 1, s);
/** get the legal left endpos */
int ret=saya::query(1, 1, s, k);
// printf("When i == %d, ret == %d\n", i, ret);
if(ret!=-1 && i-ret+1>len) len=i-ret+1, l=L+ret-1;
// printf("When i == %d, l == %d, len == %d\n", i, l, len);
}
// printf("successfully quit!\n");
}
signed main(){
input();
if(d==0) return special::launch();
int lst=1;
rep(i, 2, n+1) if(a[i]%d!=a[lst]%d || i==n+1)
solve(lst, i-1), lst=i;
writc(l, ' '), writc(l+len-1, '\n');
return 0;
}
肆、关键之处 ¶
真不知道该怎么说，但是这种移动右端点，维护左端点真该学一下，同时使用单调栈维护最大最小值。
