[CF1450H1]Multithreading (Easy Version)
壹、题目描述 ¶
贰、题解 ¶
这东西我是一辈子都想不到的，即使我能够贪心出一点结论，也不会知道具体地数学表示。
若没有 \(\tt ?\)，设 \(B_o\) 为奇数位置 \(\tt b\) 的个数，\(B_e\) 为偶数位置 \(\tt b\) 的个数，类似地定义 \(W_o,W_e\)，那么，我们有：
我是真不可能想到这个结论，但是这的确可以证明。
注：如果你已经会证明了，则可以跳过证明部分。
不失普遍性地，我们假设 \(B_o\ge B_e\)，令 \(2k=B_o-B_e\)，证明分成两个部分：\(f(c)\le k\) 以及 \(f(c)\ge k\).
Proof Part#1
证明 \(f(c)\le k\)，即答案的上界为 \(k\).
首先，贪心地将最近的且奇偶性不同的同色点连接，由于 \(B_o>B_e\;\and\;B_o-B_e=2k\)，那么会在奇数位置剩下 \(2k\) 的黑色点，同样的，会在偶数位置剩下 \(2k\) 个白色点，即我们这样连：
有两个重要性质： 
- 两个点围成的两个部分没有和他们颜色相同且没有被匹配的点，假设存在这样的点，那么它的下标一定会是奇数或偶数，而我们两个端点一奇一偶，那么它一定可以和其中一个端点构成更近的匹配；
- 两个点分开的两个部分，其内部的点一定都是偶数，这比较显然吧；
此时我们证明了这些点都是同色，并且个数还是偶数，那么他们一定可以内部搞定而不会连出去。即这一步操作不会产生异色交点。我们可以把这些部分都忽略了，因为外部的连接无论如何都不会影响到他们了。
接下来，剩下的点一定都是这种情况（将已经连接的部分忽略了）
由于有 \(2k\) 个黑色的，并且我们发现每两个会产生一个异色交点，故总共就会有 \(k\) 个交点，由于这个构造是普适性的，任意一种情况都会存在这样一种构造，所以答案绝不会超过 \(k\)，即答案至多为 \(k\).
Proof Part#2
证明 \(f(c)\ge k\)，即答案至少为 \(k\)，此时我们应该考虑最少的交点次数都至少为 \(k\).
此处需要使用以下结论：
最优构造中可以不存在同色交点。即在最优构造中，同色交点一定可以被避免。
为什么呢？我们对比一下两种连法：
第一种方法存在同色交点，而如果我们将其变成第二种，我们发现，异色交点不可能会增多，而只有可能减少，具体减少的是从 \(P_2\) 到 \(P_4\) 的连边与两个白色边形成的交点，而这又是最优情况，所以减少也不可能减少。
故而这种调整不会改变异色交点个数，类似地，我们可以将所有同色交点都打开。
由于 \(B_o-B_e=2k\)，所以一定会有 \(k\) 条奇偶性相同的边，而每连这样一条边，将原图分成的两个部分一定点数都为奇数，为奇数则一定会有左部分和右部分的一条边，这条边一定会和我们的分割边产生一个交点，这种交点显然不可避免，然而我们又证明最优构造中同色交点一定可以避免，所以这种交点不可能是同色交点，只有可能为异色交点。
而每一条分割边至少一个这样的交点，有 \(k\) 条，自然而然至少 \(k\) 个异色交点。
上下界都是 \(k\)，所以 \(f(c)=k={1\over 2}|B_o-B_e|\).
\(\blacksquare.\)
考虑如何计数。设 \(F\) 为 \(\tt ?\) 的集合，类似定义 \(F_o,F_e\)，我们首先枚举 \(F\) 的子集 \(i\)，并强制将 \(i\) 中偶数位置填 \(\tt b\)，奇数位置填 \(\tt w\)，对于 \(\complement_Fi\)，我们将偶数位置填 \(\tt w\)，奇数位置填 \(\tt b\)，那么，就有
注意到 \(B_o+|F_o|={n\over 2}-W_o\)，我们令 \(x=B_o+|F_o|-B_e={n\over 2}-W_o-B_e\)，那么
由于 \(i\) 对应的方案有 \({|F|\choose i}\) 种，故而总方案的期望值为
刚开始是 \(2^{|F|-1}\) 的原因是我们要保证 \(i\) 为 奇数/偶数。
时间复杂度 \(\mathcal O(n)\).
叁、参考代码 ¶
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
// #define NDEBUG
#include<cassert>
namespace Elaina{
#define rep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i<=i##_end_; ++i)
#define drep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i>=i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define Endl putchar('\n')
#define mmset(a, b) memset(a, b, sizeof a)
// #define int long long
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
template<class T>inline T fab(T x){ return x<0? -x: x; }
template<class T>inline void getmin(T& x, const T rhs){ x=min(x, rhs); }
template<class T>inline void getmax(T& x, const T rhs){ x=max(x, rhs); }
template<class T>inline T readin(T x){
x=0; int f=0; char c;
while((c=getchar())<'0' || '9'<c) if(c=='-') f=1;
for(x=(c^48); '0'<=(c=getchar()) && c<='9'; x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f? -x: x;
}
template<class T>inline void writc(T x, char s='\n'){
static int fwri_sta[1005], fwri_ed=0;
if(x<0) putchar('-'), x=-x;
do fwri_sta[++fwri_ed]=x%10, x/=10; while(x);
while(putchar(fwri_sta[fwri_ed--]^48), fwri_ed);
putchar(s);
}
}
using namespace Elaina;
const int maxn=2e5;
const int mod=998244353;
const int inv2=499122177;
inline int qkpow(int a, int n){
int ret=1;
for(; n; n>>=1, a=1ll*a*a%mod)
if(n&1) ret=1ll*ret*a%mod;
return ret;
}
int fac[maxn+5], finv[maxn+5];
int n, m, b[2], w[2], f[2];
char s[maxn+5];
inline void init(){
fac[0]=1;
rep(i, 1, maxn) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
finv[maxn]=qkpow(fac[maxn], mod-2);
drep(i, maxn-1, 1) finv[i]=1ll*finv[i+1]*(i+1)%mod;
finv[0]=1;
}
inline int C(int n, int m){
if(n<m) return 0;
return 1ll*fac[n]*finv[m]%mod*finv[n-m]%mod;
}
inline void input(){
n=readin(1), m=readin(1);
scanf("%s", s+1);
rep(i, 1, n){
if(s[i]=='b') ++b[i&1];
else if(s[i]=='w') ++w[i&1];
else ++f[i&1];
}
}
inline void calc(){
int x=(n>>1)-w[1]-b[0], ans=0;
rep(i, 0, f[0]+f[1]) if((i&1)==(x&1))
ans=(ans+1ll*fab(i-x)%mod*C(f[0]+f[1], i)%mod)%mod;
ans=1ll*ans*qkpow(inv2, f[0]+f[1])%mod;
writc(ans);
}
signed main(){
init();
input();
calc();
return 0;
}
