[COCI2020/2021]Euklid
壹、题目描述 ¶
定义函数
给定 \(g,h\)，请找到 \(a,b\) 使得 \(\gcd(a,b)=g\and R(a,b)=h\). 保证 \(g,h\le 200000\)，可以证明，存在 \(a,b\le 10^{18}\) 的解。
贰、题解 ¶
tl;dr —— 输出：
\[b=g\left\lceil{h^K\over g}\right\rceil,a=hb+g\quad(g<h^K) \]你可以获得 \(100pts\).
显然一道构造题，但是挺难想到。下面我们不妨假设 \(a\ge b\).
首先想到的就是去考察 \(R\) 的性质，如果你打表，你会发现......不，你什么都发现不了。
但是我们可以利用人类智慧，首先一定有 \(R(h,h^k)=h\)，更一般地，有 \(R(h,h^k+r)=h\)，我们只需要保证 \(r<h^k\) 即可。
也即，有 \(R(h,x)=h\Big(x\in [h^k,2h^k)\Big)\)，如果我们不考虑 \(\gcd\) 的限制，那么我们可以直接构造 \(a=h^k,b=h\)，但是像这样由一边除到尽头，我们始终需要强制让一边为 \(h\)，如 \(b=h\)，而此时我们是万般不能让 \(\gcd(a,b)=g\) 的（除了可能存在的一些特殊情况）。所以，这种 “一边除到底” 好是好，但是不能满足所有条件。
但是我们可以考虑，当 \(a/b\) 完之后，得到 \(a'=h\)，然后我们面对的是 \(R(a',b)=R(h,b)\)，然后用 \(h\) 将 \(b\) 除成 \(1\)，这个时候，\(a=h\times b^j+r(r<b^j)\)，且 \(b\in[h^k,2h^k)\)，并且得构造出 \(\gcd(a,b)=g\).
根据辗转相除法，我们有
如果设 \(b=gh\)，考虑最简单的情况，\(r=g\and j=1\Rightarrow a=h^2g+g=g(h^2+1)\)，我们一定能够保证 \(\gcd(h,h^2+1)=1\)，这样似乎合法？
然后，你会发现你错了，举个栗子：当 \(g=2,h=3\) 时，我们可以构造出 \(a=20,b=6\)，但是 \(R(20,6)=2\)，那么问题出在哪里？我们还有个前提条件是 \(gh\in [h^k,2h^k)\Rightarrow g\in[h^{k-1},2h^{k-1})\)，得保证这个，我们才能构造出正确的答案。
也就是说，如果 \(g\) 给得不够好，就没有答案咯？那为什么题目 “可以证明” 存在 \(a,b\le 10^{18}\)？事实上，\(b=gh\) 只是我猜测的其中一种情况，\(b\) 不一定一定就是 \(gh\)，我们可以记 \(b=gi\)，保证 \(b=gi\in [h^k,2h^k)\) 即可，即，\(g\in\left[{h^k\over i},{2h^k\over i}\right)\) 即可。
至于如何找到这个 \(i\)，由于我们有
因为这个 \(i\) 是个整数，我们只需要找到一个 \(k\)，满足区间 \(\left[{h^k\over g},{2h^k\over g}\right)\) 包含至少一个整数即可，一个一定满足条件的不等式是
只需要找到这个 \(k\) 就可以了，取 \(i=\left\lceil{h^k\over g}\right\rceil\)，而 \(a=h\times b+g\).
但是值得注意的是，直接取 \(i=\left\lceil{h^k\over g}\right\rceil\) 的同时，我们一定有 \(i>1\)，因为 \(g<h^k\)，但是至于为什么必须保证 \(i>1\) 呢？因为我们的 \(a=h\times b^j+r(r<b^j)\)，在此我们取 \(j=1\)，则需保证 \(r=g<b=gi\)，显然，当 \(i=1\) 时不等式不成立，但是我们取上取整保证了 \(i>1\).
总复杂度 \(\mathcal O(T\log_hg)\).
题解过于简单，直接给出构造方法：
\[b=g\left\lceil{h^K\over g}\right\rceil,a=hb+g\quad(g<h^K) \]我只能说，这个构造方法没有时间还真想不到，或许只有 \(\sf SYDevil\) 和 \(\sf OID\) 可以直接出吧？
另：可能会有其他构造方法，不过，愚以为，所以不同的构造方法实际上都是 \(r,i,j\) 取不同的值（此处取值 \(r=g,j=1\)），只要满足 \(\gcd(r,b)=g\) 以及 \(r<b^j\)，然后得到不同的约束条件，本质应该都是这种构造方法（除非你交换这两个数不止一，但是按道理应该也可以归为这种只交换一次位置）。如果有其他的构造方法，且不满足作者的待定系数的，请联系作者，十分感谢！
叁、参考代码 ¶
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
// #define NDEBUG
#include<cassert>
namespace Elaina{
#define rep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i<=i##_end_; ++i)
#define drep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i>=i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define Endl putchar('\n')
#define mmset(a, b) memset(a, b, sizeof a)
// #define int long long
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
template<class T>inline T fab(T x){ return x<0? -x: x; }
template<class T>inline void getmin(T& x, const T rhs){ x=min(x, rhs); }
template<class T>inline void getmax(T& x, const T rhs){ x=max(x, rhs); }
template<class T>inline T readin(T x){
x=0; int f=0; char c;
while((c=getchar())<'0' || '9'<c) if(c=='-') f=1;
for(x=(c^48); '0'<=(c=getchar()) && c<='9'; x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f? -x: x;
}
template<class T>inline void writc(T x, char s='\n'){
static int fwri_sta[1005], fwri_ed=0;
if(x<0) putchar('-'), x=-x;
do fwri_sta[++fwri_ed]=x%10, x/=10; while(x);
while(putchar(fwri_sta[fwri_ed--]^48), fwri_ed);
putchar(s);
}
}
using namespace Elaina;
ull R(ull a, ull b){
if(a<b) return R(b, a);
if(b==1) return a;
return R(a/b, b);
}
ull gcd(ull a, ull b){ return b? gcd(b, a%b): a; }
ull g, h, k, tmp, i, a, b;
signed main(){
freopen("euklid.in", "r", stdin);
freopen("euklid.out", "w", stdout);
rep(_, 1, readin(1)){
g=readin(1llu), h=readin(1llu);
tmp=1, k=0;
while(g>=tmp) ++k, tmp*=h;
// When x,y are integers the equation ceil(x/y)=(x+y-1)/y is established
i=(tmp+g-1)/g, b=g*i, a=h*b+g;
writc(a, ' '), writc(b);
}
return 0;
}
肆、关键的地方 ¶
还是挖掘这个性质最重要吧，即 \(R(x,y)=x\Big(y\in [x^k,2x^k)\Big)\).
另外，考试时放弃这个方法的原因在于，我没有认真思考 “一边除到底” 的方法是可以扩展的，即可以将一边除成 \(h\)，然后再把另一边调整为 \(1\)，也就是我没有想到后面还可以交换一个位置来处理。
