[ABC205E]White and Black Balls
壹、题目描述 ¶
贰、题解 ¶
觉得这个模型转化有点意思，但是由于不是很想详写，就借用官解的图了。
对于每个点，保证 \(w_i\le b_i+k\)，感觉有点像 \(\rm Catalan\) 模型了，目前我所了解到的关于这方面的模型，无一不是满足 \(x_i\le y_i\) 限制的具体体现或者变式，一如这道题。
相似地，将这个题转化到坐标系上，就是这样：
设横坐标是 \(b_i+K\)，纵坐标为 \(w_i\)，那么就是从 \((0,0)\) 走到 \((M,N)\) 且不超过直线 \(y=x+K\).
无疑，总方案数肯定为 \(M+N\choose N\)，但是非法方案数呢？考虑经典的模型，解决方案都是从第一个非法点开始翻转，我们也可以这样做：
非法路径一定会经过 \(y=x+K+1\) 的某个点，我们从这个点开始，将前面的点都翻转，不难发现，每一种非法方案都一定一一对应一种从 \((-K-1,K+1)\) 到 \((M,N)\) 的路径，那么总方案？还用说，就是
这随便玩。
叁、参考代码(略)
肆，关键的地方 ¶
形如 \(a_i\le b_i\) 或者其变式 \(p\cdot a_i\le q\cdot b_i+K\) 的，似乎都可以归到这个模型上面来？但是限制应该是经过变形之后的 \(a_i\le {q\over p}b_i+{K\over p}\) 的所有系数都应该是整数吧？如果在实数域该怎么玩？
有待思考与补充！
有位大佬给出了祂的答案，祂指出最后的结论就是：
对于相似情形，若不经过 \(y={1\over k}x\) 而到达 \((x,y)\)，那么最终的方案数即：
\[{x+y\choose x}-k{x+y\choose y-1} \]
但是祂忘记是如何证明的了，不过另有大佬指出，这个可以使用 \(\rm raney\) 引理进行证明，其内容如下：
设整数序列 \(A=\{A_i|i=1, 2,\cdots, N\}\)，且部分和 \(S_k=A_1+\cdots+A_k\). 若序列中所有的数字的和 \(S_N=1\)，那么在 \(A\) 的 \(N\) 个循环表示中，有且仅有一个序列 \(B\)，满足 \(B\) 的任意部分和 \(S_i\) 均大于零。
而这个证明，在 \(2004\) 年论文中，周源学长给出了很巧妙的数形结合的证明（有部分删改）：
先来看一个例子，若有序列 \(A=<1, 4, -5, 3, -2, 0>\)，其 \(6\) 个循环表示为：
- \(<1, 4, -5, 3, -2, 0>\)
- \(<4, -5, 3, -2, 0, 1>\)
- \(<-5, 3, -2, 0, 1, 4>\)
- \(<3, -2, 0, 1, 4, -5>\)
- \(<-2, 0, 1, 4, -5, 3>\)
- \(<0, 1, 4, -5, 3, -2>\)
其中只有第 \(4\) 个序列，部分和为 \(3, 1, 1, 2, 6, 1\)，满足成为序列 \(B\) 的条件。
考虑将我们要证明的东西图像化，周期性地推广 \(A\) 序列，得到一个无穷序列，便于观察其循环表示，得到：
\[<A_1, A_2,\cdots, A_N, A_1, A_2, \cdots, A_N, \cdots> \]同时计算这个序列的部分和 \(S_i\)，因为这个序列是周期性的，因此对于所有的 \(k>0\)，均有 \(S_k+S_N=S_k+1\)。如果做出这个函数的图像，则可以说函数有一个“平均斜率”为 \(1\over N\)：每沿横轴正方向走 \(N\) 个单位，函数值就增加 \(1\). 于是如下图所示：
我们可以用两条斜率为 \(1\over N\) 的直线“夹住”函数包含的所有点。
图示中 \(N=6\)，且使用了上文举的例子。注意较低的那条直线，在每连续的 \(N\) 个单位长度中，它与函数图像有且仅有一个交点，这是因为斜率是 \(1\over N\) 的直线在每 \(N\) 个单位长度中最多到达一次整数点。这个交点是在这以后的 \(N\) 个点中的最低值，因此由此处的后一个位置导出的循环表示的所有部分和均为正数。而同时每连续 \(N\) 个单位长度仅有一个交点也证明了解的唯一性。
但是 \(\rm raney\) 引理是如何证明上述结论的呢？这我就不知道了，还在摸索中......
