[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题
[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题
\[\newcommand\string[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}}
\newcommand\down[2]{{#1}^{\underline{#2}}}
\]
壹、传送门 ¶
贰、题解 ¶
利用了这个式子：
\[{n\choose k}\times \down{k}{m}={n-m\choose k-m}\times \down{n}{m}
\]
首先，对于 \(f(k)\)，考虑将每一项拆开计算：
\[\begin{aligned}
&\sum_{k=0}^nk^ix^k{n\choose k} \\
=&\sum_{k=0}^nb_i{n\choose k}\down{k}{i}x^k \\
=&\sum_{k=0}^nb_i{n-i\choose k-i}\down{n}{i}x^k \\
=&\sum_{i=0}^mb_i\down{n}{i}\sum_{k=0}^n{n-i\choose k-i}x^k \\
=&\sum_{i=0}^mb_i\down{n}{i}\sum_{k=0}^{n-i}{n-i\choose k}x^k\times x^i \\
=&\sum_{i=0}^mb_ix^i\down{n}{i}\sum_{k=0}^{n-i}{n-i\choose k}x^k\\
=&\sum_{i=0}^mb_ix^i\down{n}{i}(x+1)^{n-i}
\end{aligned}
\]
对于 \(b_i\)，由于一定有：
\[\begin{aligned}
\sum_{i=0}^ma_ik^i&=\sum_{i=0}^ma_i\sum_{j=0}^i\string{i}{j}\down{k}{j} \\
&=\sum_{j=0}^m\down{k}{j}\sum_{i=j}^m\string{i}{j}a_i
\end{aligned}
\]
那么，就有
\[b_j=\sum_{i=j}^m\string{i}{j}a_i
\]
对于第二类斯特林数，有递推
\[\string{n}{m}=\string{n-1}{m-1}+m\string{n-1}{m}
\]
注意，我们得特殊定义
\[\string{0}{0}=1
\]
然后，我们就可以在 \(\mathcal O(m^2)\) 的复杂度内解决这个问题了。
叁、参考代码 ¶
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
// #define NDEBUG
#include<cassert>
namespace Elaina{
#define rep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i<=i##_end_; ++i)
#define drep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i>=i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define Endl putchar('\n')
#define mmset(a, b) memset(a, b, sizeof a)
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
template<class T>inline T fab(T x){ return x<0? -x: x; }
template<class T>inline void getmin(T& x, const T rhs){ x=min(x, rhs); }
template<class T>inline void getmax(T& x, const T rhs){ x=max(x, rhs); }
template<class T>inline T readin(T x){
x=0; int f=0; char c;
while((c=getchar())<'0' || '9'<c) if(c=='-') f=1;
for(x=(c^48); '0'<=(c=getchar()) && c<='9'; x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f? -x: x;
}
template<class T>inline void writc(T x, char s='\n'){
static int fwri_sta[1005], fwri_ed=0;
if(x<0) putchar('-'), x=-x;
do fwri_sta[++fwri_ed]=x%10, x/=10; while(x);
while(putchar(fwri_sta[fwri_ed--]^48), fwri_ed);
putchar(s);
}
}
using namespace Elaina;
const int maxm=1000;
inline int qkpow(int a, int n, int p){
int ret=1;
for(; n>0; n>>=1, a=1ll*a*a%p)
if(n&1) ret=1ll*ret*a%p;
return ret;
}
int a[maxm+5], n, x, p, m;
int stir[maxm+5][maxm+5];
inline void initial(){
stir[0][0]=1; // pay attention!
rep(i, 1, maxm) rep(j, 1, i)
stir[i][j]=(stir[i-1][j-1]+1ll*j*stir[i-1][j]%p)%p;
}
inline void input(){
n=readin(1), x=readin(1), p=readin(1), m=readin(1);
rep(i, 0, m) a[i]=readin(1);
}
int b[maxm+5];
inline void getb(){
rep(j, 0, m) rep(i, j, m)
b[j]=(b[j]+1ll*stir[i][j]*a[i]%p)%p;
}
inline int down(int x, int k){
int ret=1;
rep(i, x-k+1, x) ret=1ll*ret*i%p;
return ret;
}
inline void getans(){
int ans=0;
rep(i, 0, m) ans=(ans+1ll*b[i]*qkpow(x, i, p)%p*down(n, i)%p*qkpow(x+1, n-i, p)%p)%p;
writc(ans);
}
signed main(){
input();
initial();
getb();
getans();
return 0;
}
肆、关键的地方 ¶
首先考虑证明
\[{n\choose k}\times \down{k}{m}={n-m\choose k-m}\times \down{n}{m}
\]
\[\begin{aligned} &{n!\over k!(n-k)!}\times \down{k}{m} \\ =&{n!\over (n-k)!(k-m)!} \\ =&{(n-m)!\over (n-k)!(k-m)!}\times \down{n}{m} \\ =&{n-m\choose k-m}\times \down{n}{m} \\ \end{aligned} \]\(\blacksquare.\)
但是是怎么想到这样推柿子的呢？乱搞吧。
