[学习笔记]中国剩余定理及其扩展

〇、前言 ¶

今日，余见困于问 ABC193E 者，甚急，故作此文以记之。

壹、问题描述 ¶

求解同余方程组：

\[\begin{cases} x\equiv r_1\pmod{m_1} \\ x\equiv r_1\pmod{m_1} \\ x\equiv r_1\pmod{m_1} \\ \cdots \\ x\equiv r_n\pmod{m_n} \\ \end{cases} \]

保证 \(\forall i\neq j,\gcd(m_i,m_j)=1\)，求一个 \(x\) 满足以上要求。

在知乎的这篇中讲得比较详细，思路是转化为子问题。

总结一下他的思路，大致就是将 \(x\) 转化为求解 \(x_1,x_2,...,x_n\)，使得

\[x_i\equiv r_i\pmod {m_i}\;\and\; \forall j\neq i\; {\rm{s.t.}}\;m_j|x_i \]

然后 \(x=\sum x_i\)，但是找到 \(x_i\) 也比较困难，我们就再转化一下，找 \(y_i\) 使得

\[y_i\equiv 1\pmod {m_i}\;\and\; \forall j\neq i\; {\rm{s.t.}}\;m_j|y_i \]

而这实际上就是除了 \(m_i\) 以外所有 \(m_j\) 的乘积，乘以它们的乘积的逆元，这就是 \(y_i\).

最后就有

\[x=\sum_{i=1}^n x_i=\sum_{i=1}^n r_iy_i \]

若用数学语言表达，那么就是

\[M\overset\Delta=\prod_{i=1}^nm_i \\ x=\sum_{i=1}^nr_i{M\over m_i}\left[\left({M\over m_i}\right)^{-1}\right]_{m_i}\pmod M \]

其中 \(\left[x^{-1}\right]_{y}\) 表示 \(x\) 在 \(y\) 意义下的逆元。

代码就不实现了。

贰、拓展中国剩余定理 ¶

考虑条件更苛刻，对于问题

\[\begin{cases} x\equiv r_1\pmod{m_1} \\ x\equiv r_1\pmod{m_1} \\ x\equiv r_1\pmod{m_1} \\ \cdots \\ x\equiv r_n\pmod{m_n} \\ \end{cases} \]

不保证 \(\forall i\neq j,\gcd(m_i,m_j)=1\)，求一个 \(x\) 满足以上要求。

没有互质条件，无法使用之前的方法求解。

考虑将两个同余方程组进行合并。

如果对于前 \(i-1\) 个方程组，我们得到其解为 \(x\)，且前 \(i-1\) 个 \(m\) 的最小公倍数为 \(M\)，考虑将第 \(i\) 组合并进去。

首先，对于前 \(i-1\) 组，我们显然有通解 \(x'=x+tM,t\in Z\)，现在，我们就相当于解决以下问题：

\[\begin{aligned} &x+tM\equiv r_i\pmod {m_i} \\ \Leftrightarrow\; &tM\equiv r_i-x\pmod{m_i} \\ \Leftrightarrow\; &tM+qm_i=r_i-x \end{aligned} \]

使用 \(\rm exgcd\) 可对该不定方程求解。

显然，当 \(\gcd(M,m_i)\nmid (r_i-x)\) 时，该方程无解，若得到 \(t\)，注意更新

\[x\leftarrow x+tM \\ M\leftarrow \text{lcm}(M,m_i) \]

这样便可得到答案。

至于最开始的解？显然，\(M=m_1,x=r_1\) 即可。

叁、Excrt の 参考代码 ¶

ll exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y){
    if(b==0) return x=1, y=0, a;
    ll ret=exgcd(b, a%b, y, x);
    y-=(a/b)*x; return ret;
}

/**
 * @brief chinese remainder theorem
 * @param r remainder
 * @param m divisor
 * @return the minimum number which qualify all the condition, if not exist, return -1
*/
inline ll crt(vector<int>r, vector<ll>m){
    assert(r.size()==m.size());
    int n=r.size();
    ll lcm=m[0], ans=r[0], x, y, tmp, d;
    for(int i=1; i<n; ++i){
        tmp=((r[i]-ans)%m[i]+m[i])%m[i];
        d=exgcd(lcm, m[i], x, y);
        if(tmp%d!=0) return -1;
        x=(x*tmp/d)%(m[i]/d);
        ans+=x*lcm;
        lcm=lcm*m[i]/d;
        ans=(ans%lcm+lcm)%lcm;
    }
    return ans;
}