[ABC195B]Many oranges
壹、题目描述 ¶
橘子太多了，它红得就像 \(\color{red}{\text{WA}}\).
贰、题解 ¶
单位还不一样，得把 \(W\) 换算成 \(\rm g\) 作单位，所以真正的 \(w=1000W\).
你或许可以直接暴力做背包，但是由于最多可能要选 \({w\over a}\le 10^6\) 个，所以最后的复杂度可能会是 \(\mathcal O(10^6\times 10^6\times 10^3)=\mathcal O(10^{15})\)，这个复杂度还是算了吧......
但是你会发现个数好像可以二分，但是也只不过给其中一个 \(10^6\) 加上一个 \(\log\)，似乎并没有什么用。
我们从另外的角度考虑这个问题，不要老想着背包。
先考虑如何满足每个橘子都在 \([a,b]\) 的范围中，首先，每种方案的橘子得有个整数部分吧，那么我们就枚举这个整数部分的重量 \(x\)，得到这个重量之后，我们还缺什么呢？或许什么都不缺了吧，因为我们得到 \(x\)，就可以算出橘子个数 \(\lfloor{w\over x}\rfloor\)，并且算一下余数 \(w\pmod{x}\) 平摊到每个橘子上面是否会爆出 \(b\).
但是这个 \(\lfloor{w\over x}\rfloor\) 真的是我们想要求的吗？这只是针对这个整数的最大橘子个数，并不一定就是最终的橘子个数，所以我们还不能直接使用 \(\lfloor{w\over x}\rfloor\) 作为个数，而是再添加一个循环枚举个数。
然后，我们就有了一个 \(\mathcal O(10^8)\) 的算法。
但是这可以做到 \(\mathcal O(1)\)：
为了达到 “最多”，我们考虑尽量多地使用 \(a\)，但是这里有个问题 —— 我们可能会剩下一点，而这一点就要摊在我们所有的 \(k=\lfloor{w\over a}\rfloor\) 个橘子上，这 \(k\) 个橘子，我们能最多可以分配 \(k(b-a)\) 个，如果剩下的重量超过了那么多，显然无解了，因为这是我们所能构造的，每个橘子最轻的方案，并且不难发现，这也是橘子数量最多的方案。
考虑完最多，我们来想一想最少，情况十分类似 —— 考虑使用尽可能多的 \(b\)，但是同样，我们可能会剩下一些重量，这又怎么处理？同样的，设 \(l=\lfloor{w\over b}\rfloor\)，如果没有余数，显然最少橘子就是 \(l\)，但是如果有剩下，最少橘子就肯定 \(l+1\) 了，何也？我们剩下的橘子一定是 \(<b\) 的，说明我们新增加的橘子是不会超过上界，但是下界 \(a\) 是否能够达到？或许不能，但是我们可以从重量为 \(b\) 的橘子中分一些给它，让它达到下界，但是或许分了一些之后都还达不到，不过这种情况不可能存在，首先，我们在计算下界的时候判断了是否有解，另外，如果 \(l\) 无解，那么一定是 \(l<k\)，对于 \(l+1\) 就有 \(l+1\le k\)，使用 \(k\) 个橘子都可以上所有橘子达到下界，那么使用小于等于 \(k\) 个橘子不是更容易达到下界？
综上，最后的答案就是 \(l(\text{or }l+1),k\) 了。
叁、参考代码 ¶
首当其冲的是 \(\mathcal O(10^8)\) 的代码谁不喜欢暴力呢？
#define Endl putchar('\n')
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define fi first
#define se second
typedef long long ll;
template<class T>inline T fab(T x){ return x<0? -x: x; }
template<class T>inline T readin(T x){
x=0; int f=0; char c;
while((c=getchar())<'0' || '9'<c) if(c=='-') f=1;
for(x=(c^48); '0'<=(c=getchar()) && c<='9'; x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f? -x: x;
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
int a, b, w;
signed main(){
a=readin(1), b=readin(1), w=readin(1)*1000;
int ans1=inf, ans2=-1, cnt, res;
for(int i=a; i<=b; ++i){
cnt=w/i, res=w%i;
if(cnt==0) break;
for(int j=1; j<=cnt; ++j){
if(i*cnt+res<=b*j)
ans1=min(ans1, j), ans2=max(ans2, j);
}
}
if(ans2==-1) printf("UNSATISFIABLE\n");
else printf("%d %d\n", ans1, ans2);
return 0;
}
然而这是 \(\mathcal O(1)\) 的代码：
int a, b, w;
signed main(){
a=readin(1), b=readin(1), w=readin(1)*1000;
int k=w/a, l;
if(w%a>k*(b-a)) return printf("UNSATISFIABLE\n"), 0;
l=w/b+(w%b? 1: 0);
printf("%d %d\n", l, k);
return 0;
}
我是大**。
肆、游戏体验 ¶
有的时候，如果我们能够判断有解，就可以大胆地放开自己地脑子，让答案自己去调整吧。
