[ABC199F]Graph Smoothing

壹、题目 ¶

传送门 to Atcoder

贰、题解 ¶

考虑矩阵加速，对于一个点，考虑它自己对自己的贡献，以及其他点对自己的贡献。

设 \(d_i\) 为 \(i\) 的度，对于一个点，本来它对自己的贡献就是 \(a_i\)，但是，由于和它连接的有 \(d_i\) 条边，他们被选中的概率是 \(d_i\over m\)，并且对于每一条边被选中，它都会从本来的 \(a_i\) 的贡献变成 \(a_i\over 2\)（取平均数），所以，用 \(1\) 减去少掉的贡献，即在主对角线上放 \(1-{d_i\over m\times 2}\).

对于一条边 \(\lang u,v\rang\)，考虑 \(u\) 对 \(v\) 的贡献，首先，是 \(1\over m\) 的概率被选中，其次，取平均数，所以对于 \(acc_{u,v}\) 应该放 \(1\over 2m\).

然后，使用快速幂即可在 \(\mathcal O(n^3\log k)\) 的复杂度内解决。