[学习笔记]支配树

目录

• 〇、前言 ¶
• 壹、这是什么 ¶
• 贰、一些定义与约定 ¶
• 叁、定理、引理和推论 ¶
  • 1.1.§ 五大引理 §
    • • 1.1.1.直接支配存在引理
      • 1.1.2.直接支配祖先引理
      • 1.1.3.半支配祖先引理
      • 1.1.4.直接支配最高引理
      • 1.1.5.直接支配嵌套引理
  • 1.2.§ 三大定理 §
    • • 1.2.1.封闭定理
      • 1.2.2.继承定理
      • 1.2.3.半支配定理
  • 1.3.§ 第一推论——直接支配推论 §
• 肆、建树 ¶
• 伍、参考代码 ¶
• 陆、容易锅的地方 ¶

〇、前言 ¶

这个东西......我真的是吐了，要是在省选之前把它完善了......可是没多的时间了。

这个东西赶脚见到得很少，但是遇到的时候就很有用了，所以还是写一下。实际上很多部分都是直接宅的，但是加入了一些自己的理解。

壹、这是什么 ¶

一个有向图 $G=\lang V,E\rang$，给定一个起点 $s$，假设 $s$ 到能够访问到其他所有顶点。若去掉某点 $i$ 后，从 $s$ 无法访问到 $j$，则称 $i$ 为 $j$ 的支配点。显然支配关系满足传递性,若 $i$ 支配 $j$，$j$ 支配 $k$，则 $i$ 支配 $k$.

什么是支配树呢？

以 $s$ 为根节点建一个有向树，使得对于任意节点 $i$，其树上的祖先均为 $i$ 的支配点，这样的树称为支配树。任何有向图都存在支配树，前提是从 $s$ 能够访问到所有顶点。

注意：支配树并不一定是 $G$ 的树形图。因为有些边不是 $E$ 中的边。

贰、一些定义与约定 ¶

先给出一些定义：

1. $\rm dfs$ 树：从点 $s$ 出发，对 $G$ 进行一次 $\tt dfs$，则可以得到一棵 $\tt dfs$ 树（下文称其为 $\rm dfst$），在 $\tt dfs$ 时，要根据访问的先后顺序对顶点编号，即给每个顶点打上时间戳 $\tt dfn$. $\rm dfst$ 中的边称为树边，不在 $\rm dfst$ 树中的边称为非树边。非树边又分为前向边、返祖边、横叉边。返祖边即从 $\rm dfst$ 中一个点出发，连接到它在树上的祖先的边，前向边即从树上的某个点直接连接到它的后代，跨越了被连接点的父亲，横叉边即从一棵子树连接到另一棵子树上去。
2. 直接支配点 $idom$：点 $i$ 的支配点中 $\tt dfn$ 值最大的点即为点 $i$ 的直接支配点，换句话说，点 $i$ 在支配树中的父亲即它的直接支配点。直接支配点一般用 $idom$ 表示；
3. 半支配点 $sdom$（$\rm semi-dominator$）：顶点 $u$ 的半支配点定义为 $sdom_u=\min\{{\tt dfn}_v|\exist (v_0,v_1,v_2,...,v_k),v_0=v,v_k=u,\forall 1\le i\le k-1,{\tt dfn}_v>{\tt dfn}_u\}$，说人话就是所有满足从 $v$ 到 $u$ 存在一条所有点的 $\tt dfn$ 大于 $u$ 的 $\tt dfn$ 的路径，除了开头 $v$ 和结尾 $u$ 的 $v$ 中 $\tt dfn$ 最小的那个。再直观一点就是想象在某两条 $\tt dfst$ 的子链 $l,m$ 上，他们的分叉为 $v$ 且 $u\in l$ 且 $l$ 的 $\tt dfn$ 比 $m$ 小，如果从 $m$ 有一条横叉边连向 $u$，那么就可以说 $v$ 是一个待选的半支配点，从所有待选半支配点中找出那个 $\tt dfn$ 最小的，这个点就是 $u$ 的半支配点，较特别的，若 $v\rightarrow u$，那么 $v$ 也是一个待选半支配点；

然后是一些符号的约定，其实就是四个箭头：

• $u\rightarrow v$，表示 $u$ 存在一条边由 $u$ 到 $v$；
• $u\overset{+}{\rightarrow} v$，表示 $u$ 存在一条由树边组成的路径到 $v$，且 $u\neq v$；
• $u\overset{.}{\rightarrow} v$，表示 $u$ 存在一条由树边组成的路径到 $v$，允许 $u=v$；
• $u\leadsto v$，表示 $u$ 存在一条路径到 $v$；

叁、定理、引理和推论 ¶

遵循 $5,3,1$ 的数字规律，一个一个给出。

1.1.§ 五大引理 §

1.1.1.直接支配存在引理

对于 $G=\lang V,E\rang$，除了 $s$ 以外的所有点都存在 $idom$.

每个点有时间戳，每个点至少有一个支配点。所以一定有 $\tt dfn$ 最小的支配点。

我有一个 apple，我有一个 pen，所以我有 apple pen.

1.1.2.直接支配祖先引理

$\forall u\neq s$ 有 $idom_u\overset{+}{\rightarrow}u$.

如果 $idom_u$ 不是 $u$ 的祖先，那 $s$ 不是可以直接沿着树边到 $u$ 而不用经过 $idom_u$ 了吗......

1.1.3.半支配祖先引理

对于 $G=\lang V,E\rang$，$\forall u\neq s$ 有 $sdom_u\overset{+}{\rightarrow}u$.

根据定义，$sdom_u$ 有一条由非树边组成的路径到达 $u$，且路径上的点 $i$ 满足 ${\tt dfn}_i>{\tt dfn}_u$，又 ${\tt dfn}_{sdom_u}<{\tt dfn}_u$，且在所有满足这个条件的点中， ${\tt dfn}_{sdom_u}$ 最小。

考虑取 $sdom_u$ 和 $u$ 的 $\tt LCA$，记为 $p$，那么 $t$ 一定是路径上一点，且 ${\tt dfn}_t\le {\tt dfn}_{sdom_u}<{\tt dfn}_u$，而路径中间的顶点 $i$，有 ${\tt dfn}_i<{\tt dfn}_u$，所以 $t$ 只能是 $sdom_u$.

1.1.4.直接支配最高引理

$\forall u\neq s$，有 $idom_u\overset{.}{\rightarrow}sdom_u$.

根据 $1.1.2$ 与 $1.1.3$ 可知 $idom_u$ 和 $sdom_u$ 位于 $s$ 到某个 $\tt dfst$ 某个叶节点的路径上。

所以，只要排除 $sdom_u\overset{.}{\rightarrow}idom_u$ 即可。

考虑反证法，假设 $sdom_u\overset{.}{\rightarrow}idom_u$，由 $sdom_u$ 的定义，不难发现 $idom_u$ 此时不再支配 $u$，与定义矛盾，所以原命题得证。

1.1.5.直接支配嵌套引理

$\forall u\overset{.}{\rightarrow} v$，有 $u\overset{.}{\rightarrow} idom_v\or idom_v\overset{.}{\rightarrow} idom_u$.

肯定地，$u,v,idom_u,idom_v$ 一定在 $\tt dfst$ 从 $s$ 到某个叶子的路径上。

分情况讨论：

• 当 ${\tt dfn}_u\le {\tt dfn}_{idom_v}$，则有 $u\overset{.}{\rightarrow}{\tt dfn}_{idom_v} \overset{.}{\rightarrow}v$；
• 当 ${\tt dfn}_u>{\tt dfn}_{idom_v}$，则有 ${\tt dfn}_{idom_v}\overset{.}{\rightarrow} u$，此时考察 $idom_u$ 与 $idom_v$ 的关系：如果 $idom_u\overset{.}{\rightarrow}idom_v$，则去掉 $idom_v$ 还是可以从 $idom_u$ 到 $u$ 再到 $v$，与 $idom_v$ 定义矛盾，所以只能是 $idom_v\overset{.}{\rightarrow}idom_u$；

1.2.§ 三大定理 §

1.2.1.封闭定理

$\forall u\neq s$，若 $\forall v\;{\rm s.t.}\;sdom_u\overset{+}{\rightarrow} v\overset{.}{\rightarrow} u$ 满足 ${\tt dfn}_{sdom_v}>{\tt dfn}_{sdom_u}$，则 $idom_u=sdom_u$.

感性证明，可以理解为所有在 $sdom_u$ 管辖范围内的所有点都无法连出去而被封闭在里面了，那么 $u$ 就一定被 $sdom_u$ 支配。

1.2.2.继承定理

$\forall u\neq s$，若 $\exist v\;{\rm s.t.}\;sdom_u\overset{+}{\rightarrow} v\overset{.}{\rightarrow} u\and{\tt dfn}_{sdom_v}<{\tt dfn}_{sdom_u}$，设 $p$ 为所有 $v$ 中 ${\tt dfn}_{sdom_v}$ 最小的一个，则 $idom_p=idom_u$.

感性证明一下，可以理解为如果有 $v$ 从 $sdom_u$ 连出去了，那么 $u$ 就摆脱了 $sdom_u$ 的束缚，但由于他是通过 $v$ 摆脱束缚的，所以束缚 $v$ 的点必定束缚 $u$，因而可以直接继承直接支配点。

1.2.3.半支配定理

$\forall u\neq s,sdom_u=\min\{v|(v,u)\in E,{\tt dfn}_v<{\tt dfn}_u\cup sdom_p|{\tt dfn}_p>{\tt dfn}_u\and \exist (q,w)\in E,p\overset{.}{\rightarrow}q\}$

对于第 $1$ 类，即 $v|(v,u)\in E,{\tt dfn}_v<{\tt dfn}_u$，这是 $sdom$ 的特殊情况。

对于第 $2$ 类，即 $sdom_p|{\tt dfn}_p>{\tt dfn}_u,\exist (q,w)\in E,p\overset{.}{\rightarrow}q$，其实就是考虑横叉边的情况。

1.3.§ 第一推论——直接支配推论 §

$\forall u\neq s$，令 $v$ 为所有满足 $sdom_u\overset{+}{\rightarrow} v\overset{.}{\rightarrow} u$ 中 ${\tt dfn}_{sdom_v}$最小的点，那么

$$idom_u= \begin{cases} sdom_v&sdom_u=sdom_v \\ idom_v&{\tt dfn}_{sdom_v}<{\tt dfn}_{sdom_u} \end{cases}$$

其实就是将前两个定理 ruá 在了一起，其实在与上面取等的时候，就是 $v$ 取到 $u$ 或者 $v,u$ 有共同半支配点的时候，即封闭定理的情况。

由这个推论不难看出，对于一个新图 $G'=\lang V,E'\rang$，其中 $E'=\{(sdom_i,i)|i\neq s\}$，那么 $G$ 和 $G'$ 的支配关系是一样的，因为第二种取等情况，可以一直递归至第一种情况，并且一定有 $G'$ 是一个 $\tt DAG$.

肆、建树 ¶

大致分为几种不同的图：

• 树，自己就是支配树；
• $\tt DAG$，则对原图进行拓扑排序，依次确定 $idom$，设当前点为 $i$，若 $j\rightarrow i$，则所有 $j$ 的 $\tt LCA$ 就是 $idom_i$；
• 有向图，由直接支配推论，我们可以将 $G$ 转化为 $G'$，然后在这个 $\tt DAG$ 上使用拓扑即可建出支配树。或者使用另外一种方法，将所有点的 $sdom$ 找出来之后，使用推论寻找 $idom$，这样可以避免寻找 $\tt LCA$，将 $\tt LCA$ 的 $\log$ 变成并查集的一般 $\mathcal O(n\alpha)$，很少会有变态把并查集卡成 $\mathcal O(\log)$ 的吧？

最复杂情况即一般有向图，时间复杂度 $\mathcal O(n\alpha)$ 或 $\mathcal O(n\log n)$.

伍、参考代码 ¶

使用的 $\mathcal O(n\log n)$ 的算法，毕竟太懒了......

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define Endl putchar('\n')
typedef long long ll;
template<class T>inline T readin(T x){
	x=0; int f=0; char c;
	while((c=getchar())<'0' || '9'<c) if(c=='-') f=1;
	for(x=(c^48); '0'<=(c=getchar()) && c<='9'; x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	return f? -x: x;
}

const int maxn=2e5;
const int maxm=3e5;
const int logn=18;

int n, m;

struct graph{
	struct edge{
		int to, nxt;
		edge(){}
		edge(int T, int N): to(T), nxt(N){}
	}e[maxn*2+5];
	int tail[maxn+5], ecnt;
	inline void add_edge(int u, int v){
		e[ecnt]=edge(v, tail[u]); tail[u]=ecnt++;
	}
	graph(){
		memset(tail, -1,  sizeof tail);
		ecnt=0;
	}
}G, rG, dag, rdag, domi_tre;
#define foredge(u, G) for(int i=G.tail[u], v=G.e[i].to; ~i; i=G.e[i].nxt, v=G.e[i].to)

inline void input(){
	n=readin(1), m=readin(1);
	int u, v;
	for(int i=1; i<=m; ++i){
		u=readin(1), v=readin(1);
		G.add_edge(u, v);
		rG.add_edge(v, u);
	}
}

// get the dfst
int dfn[maxn+5], refl[maxn+5], fa[maxn+5], timer;
void dfs(int u){
	refl[dfn[u]=++timer]=u;
	foredge(u, G) if(!dfn[v]){
		dfs(v); fa[v]=u;
		dag.add_edge(u, v); // special sdom
	}
}

// dsu
int pre[maxn+5], minn[maxn+5], sdom[maxn+5];
inline void initial(){
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		pre[i]=minn[i]=sdom[i]=i;
}
int findrt(int u){
	if(u==pre[u]) return u;
	int ret=findrt(pre[u]);
	if(dfn[sdom[minn[u]]]>dfn[sdom[minn[pre[u]]]])
		minn[u]=minn[pre[u]];
	return pre[u]=ret;
}

inline void tarjan(){
	initial(); // pay attention
	// enumerate dfn from big to small
	for(int j=n; j>1; --j){
		int u=refl[j], res=j;
		if(!u) continue; // s connot reach u
		foredge(u, rG){
			if(!dfn[v]) continue; // s connot reach v
			// an edge which connect u and the node outside
			if(dfn[v]<dfn[u]) res=min(res, dfn[v]);
			else findrt(v), res=min(res, dfn[sdom[minn[v]]]);
		}
		sdom[u]=refl[res];
		pre[u]=fa[u];
		dag.add_edge(sdom[u], u);
	}
}

int dep[maxn+5], tp[maxn+5][logn+5];
inline int getlca(int u, int v){
	if(dep[u]<dep[v]) swap(u, v);
	for(int j=logn; j>=0; --j) if(dep[tp[u][j]]>=dep[v])
		u=tp[u][j];
	if(u==v) return u;
	for(int j=logn; j>=0; --j) if(tp[u][j]!=tp[v][j])
		u=tp[u][j], v=tp[v][j];
	return tp[u][0];
}
inline void insert_tre(int u){
	int anc=rdag.e[rdag.tail[u]].to;
	foredge(u, rdag) anc=getlca(anc, v);
	dep[u]=dep[anc]+1;
	tp[u][0]=anc;
	domi_tre.add_edge(anc, u);
	for(int j=1; j<=logn; ++j)
		tp[u][j]=tp[tp[u][j-1]][j-1];
}
int in[maxn+5];
queue<int>Q;
inline void topu(){
	for(int u=1; u<=n; ++u){
		foredge(u, dag){
			++in[v];
			rdag.add_edge(v, u);
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i) if(!in[i]){
		dag.add_edge(0, i), rdag.add_edge(i, 0);
		++in[i];
	}
	Q.push(0);
	while(!Q.empty()){
		int u=Q.front(); Q.pop();
		foredge(u, dag){
			if(!--in[v]){
				Q.push(v);
				insert_tre(v);
			}
		}
	}
}

int siz[maxn+5];
void dfstre(int u){
	siz[u]=1;
	foredge(u, domi_tre){
		dfstre(v);
		siz[u]+=siz[v];
	}
}

signed main(){
	input();
	dfs(1);
	tarjan();
	topu();
	dfstre(0);
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		printf("%d ", siz[i]);
	Endl;
	return 0;
}

陆、容易锅的地方 ¶

这些锅可能出现在我的某次考试中，或者原题检测、或者一些其他的时候......

谁知道呢，反正这些地方容易出锅就对了。

• 由于 $\tt tail[]$ 是以 $-1$ 结尾的，所以有些地方潜伏的 $\color{violet}{\text{RE}}$；
• 多组数据的时候，不止清空 $\tt dfn[]$，还要记得 $\tt refl[]$；
• 进行 $\tt dfs()$ 的时候，记得加上 $\tt !dfn[v]$；
• 注意支配树的根是 $0$，所以支配树的 $\tt dfn$ 上限不只是 $n$，而是 $n+1$；