[CF662C]Binary Table

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• 壹、题目描述 ¶
• 贰、一些思考 ¶
• 叁、题解 ¶
• 叁、参考代码 ¶
• 肆、用到 の \(\tt trick\)

壹、题目描述 ¶

传送门 to Luogu

贰、一些思考 ¶

这是二刷，知道这是一道 \(\tt FWT\) 的妙妙题 但是可能还是不会

关注点在 \(n\le 20\)，那我们就来暴力枚举我们翻转了哪些行吧？

现在我们已知每一行的翻转状况，对于每一列，我们一定要取其最优值，有一种朴素的方案是再扫一遍每一列，判断最优情况即可。

但是这样真的可以接受吗？显然是不行的。考虑我们目前枚举的翻转行在二进制下的数为 \(s\)，对于第 \(i\) 列，将其初始状态记为 \(\omega_i\)，那么在 \(s\) 的变换下，实际第 \(i\) 列就是 \(\omega_i\oplus s\)，换句话说，我们要求的是

\[\sum_{i=1}^m \min\{\text{bitcnt}(\omega_i\oplus s),n-\text{bitcnt}(\omega_i\oplus s)\} \]

然后我就不会了...... 二刷都不会，我真的是个废物

叁、题解 ¶

设 \(f(x)=\min\{\text{bitcnt}(x),n-\text{bitcnt}(x)\}\)，对于一个 \(s\)，我们考虑它的贡献，为

\[\sum_{i=1}^mf(\omega_i\oplus s) \]

但是这个 \(s\) 放在参数里面，有没有什么办法能把他拿出来？我们考虑在外层加上一个循环枚举 \(\omega_i\oplus s\) 的结果，那么

\[Ans=\sum_{i=1}^m\sum_{\beta=0}^{2^n-1}[\beta=\omega_i\oplus s]f(\beta) \]

可以将相同的 \(\omega_i\) 整合起来，设 \(t_x\) 为所有列中，二进制为 \(x\) 的列的个数，那么枚举 \(m\) 无用了，变成了一个 \(2^n-1\) 的枚举，即

\[Ans=\sum_{i=0}^{2^n-1}\sum_{\beta=0}^{2^n-1}[\beta=i\oplus s]f(\beta)t_{i} \]

嘿，发现了点什么没有？如果我们记 \(Ans=g(s)\)，那么就有

\[g(s)=\sum_{i\oplus j=s}t_{i}f(j) \]

然后，这就变成板子了......将两个长度为 \(2^n\) 的数组用异或卷积卷起来，得到 \(g\)，再在 \(g\) 中取最大值即为答案。

叁、参考代码 ¶

\(\color{red}{\text{talk is FWT, but I have no code.}}\)

肆、用到 の \(\tt trick\)

柿子中的 \(\min,\max\) 有时候都很烦，考虑把这些东西去掉，这里直接将其记为一个函数，眼不见心不烦啊......

另外，当自变量在函数之内时，此处用到的处理方法是将参数的值整体拿出来枚举，并加上一个布尔表达式，这样不影响结果。