[学习笔记]泰勒展开

只是大概说一下怎么使用泰勒展开。

一、一般形式

对于一个函数 $f(x)$ 以及一个点 $x_0$，我们在 $x_0$ 对函数 $f$ 进行一个拟合，设拟合函数为 $T$，那么泰勒展开的一般形式如下：

$$T(x)=f(x_0)+{f'(x_0)\over 1!}(x-x_0)+{f^{''}(x_0)\over 2!}(x-x_0)^2+\cdots +{f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n=\sum_{i=0}^\infty{f^{(i)}(x_0)\over i!}(x-x_0)^i$$

当 $n$ 越大，拟合越接近。

如果要比较具体地理解，可以看 这里 。

二、一些练习

• $f(x)=e^x$

有泰勒展开

$$T(x)=\sum_{i=0}^\infty{f^{(i)}(x_0)\over i!}(x-x_0)^i$$

并且有 $f'(x)=f(x)$，令 $x_0=0$，则

$$T(x)=\sum_{i=0}^\infty {x^i\over i!}$$

• $f(x)=\sin(x)$

有泰勒展开

$$T(x)=\sum_{i=0}^\infty{f^{(i)}(x_0)\over i!}(x-x_0)^i$$

注意到 $f'(x)=\cos(x),f''(x)=-\sin(x),f'''(x)=-\cos(x),f''''(x)=\sin(x)=f(x)$，即原函数求四次导之后变回自己，让 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处展开，有 $f(x)=0,f'(x)=1,f''(x)=0,f'''(x)=-1$，那么泰勒展开有

$$T(x)={x\over 1!}-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-{x^7\over 7!}+\cdots+(-1)^{n}{x^{2n+1}\over (2n+1)!}+\cdots$$

• $f(x)=\cos(x)$

与 $g(x)=\sin(x)$ 类似，也有相似规律，直接写了

$$T(x)=1-{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}-\cdots +(-1)^n{x^{2n}\over (2n)!}+\cdots$$

• $f(x)=\ln(x+1)$

令 $x_0=0$，则

$$\begin{aligned} T(x)&=\sum_{i=0}^\infty {f^{(i)}(0)\over i!}x^i \\ \end{aligned}$$

分析多阶导数，有 $f'(x)={1\over x+1}$，$f''(x)=-{1\over (x+1)^2}$，$f'''(x)={2\over (x+1)^3}$，不难发现 $f^{(k)}(x)={{(-1)^{k-1}(k-1)!}\over (x+1)^k}$，那么有 $f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!$，将其带入展开式，就有

$$T(x)=\sum_{i=0}^\infty {(-1)^{i-1}x^i\over i}=\sum_{i=0}^\infty {(-1)^{i+1}x^i\over i}$$

• $f(x)={1\over x+1}$

分析高阶导数，发现和 $\ln(x)$ 的导数有相似性，可以发现 $f^{(k)}(x)={(-1)^kk!\over (x+1)^k}$，直接写在 $x_0=0$ 处的展开式，有

$$T(x)=\sum_{i=0}^\infty (-1)^ix^i$$

• $f(x)=(1+x)^a$

直接暴力展开，不解释。