[组合数学题单]树！不等！

这道题的加强版，就是从链变成了树，弱化版都很难了，这还来加强版......只不过不用打分治 NTT 了

题目自己编的......

只有数学不会，不会就是不会，怎么学都不会......

壹、题目

没找到出处，被迫手打了

一棵树，每条边限制两个端点的大小关系（限制 \(a_u>a_v\) 或 \(a_u<a_v\)）。
求有多少种符合要求的排列 \(a\) 满足整棵树的限制。
数据规模：\(n\le 5000\).

贰、题解

定义边向下为正方向，那么如果整棵树都是正方向，最后的答案就是

\[n!\prod_{i=1}^n{1\over size_i} \]

从期望角度考虑，具体看弱化版。但是肯定没有那么好的出题人，考虑使用与弱化版相同的思路，将向上的边容斥掉，但是与弱化版不同的是，它的连通块大小不能直接求，而在弱化版中就是 \(i-j\)，所以我们还得加一维记录连通块中有多少点，定义 \(f_{i,j}\) 表示当以 \(i\) 为根的子树中有 \(j\) 个节点的时候整颗子树合法的概率，对于点 \(u\) 和它的儿子 \(v\) 之间的关系，分两类讨论

• 当规定 \(a_u<a_v\)，即这条边是向下，显然他们俩在同一连通块中，所以不用更改第二维，所以我们直接将 \(f_{v,k}\) 加进 \(f_{u,j}\)；
• 当规定 \(a_u>a_v\)，即这条边向上，是反的，这个时候我们默认的是他们不在同一连通块，如果要把大于小于反向，它就会被加入连通块，此时需要更改第二维，同时需要算上容斥系数，但是它还要保证当前点 \(u\) 还得是子树中最小的而非原来的子树 \(v\)，所以得将保证 \(v\) 最小的概率 \(1\over size_v\) 去掉（就是乘 \(size_v\)），算上保证 \(u\) 最小的概率 \(1\over size_u+size_v\)，但是注意此处的 \(size\) 并非子树大小，而是连通块个数，携程转移方程即 \(f_{u,j+k}\) 加上 \((-1)^tf_{v,k}{k\over j+k}\)；

由于 \(n\) 比较小，可以直接硬转移 不会有人想写 NTT 的，最后的答案就是 \(n!\times \sum_{i=0}^nf_{1,i}\).

叁、用到の小 \(\tt trick\)

似乎和弱化版相似，除了是在树上维护以外没什么不同的。