[组合计数题单]括号序列

目录

• 壹、题目
• 贰、题解
• 叁、用到の小 \(\tt trick\)

只有括号不会，不会就是不会，见到多少次都不会......

壹、题目

求有多少个长度为 \(n\) 的括号序列满足其所有子序列中最长合法括号子序列的长度恰好为 \(2k\)，多组数据。

数据范围：\(n,T\le 2\times 10^5,k\le n\).

贰、题解

考虑将 ( 设为 \(1\)，将 ) 设为 \(-1\)，然后求前缀和得到 \(s_i\)，那么，一个序列的最长合法括号子序列的长度就是 \(n-s_n-2|\min\{s_i\}|\).

至于这个结论是怎么证的，我们考虑从整个序列长度减去没用到的右括号与左括号，就是最长的，对于没有用到的右括号，实际上就是 \(|\min\{s_i\}|\)，放到二维坐标系上是这样

每次，只要这个函数超过了之前的最小值，那么它就浪费了一个右括号，所以总共浪费的右括号就是 \(|\min\{s_i\}|\).

至于没有用到的左括号，其实就是 \(s_n+|\min\{s_i\}|\)（就是最后剩下的从最低点到最后的那一节），所以总共就是 \(n-|\min\{s_i\}|-(s_n+|\min\{s_i\}|)=n-s_n-2|\min\{s_i\}|\).

所以我们就是要找一个长度为 \(n\) 的括号序列满足 \(n-s_n-2|\min\{s_i\}|=2k\)，也就是必须满足 \(s_n=n-2k-2|\min\{s_i\}|\).

暴力一点，枚举 \(\min\{s_i\}=t,|\min\{s_i\}|=-t\)（因为至少有 \(s_n=0\)，所以一定满足 \(\min\{s_i\}\le 0\)）则 \(s_n=n-2k+2t\)，至于怎么求 \(\min\{s_i\}=t\)，考虑使用简单的容斥，将 \(\min\{s_i\}\ge t\) 的方案减去 \(\min\{s_i\}\ge t-1\) 的方案，而这个东西，实际上就是

这条折线始终在 \(y=t\) 的上方（可触碰），最后到达 \(s_n\)，即从 \((0,0)\) 走到 \((n,s_n)\) 而不经过 \(y=t-1\)，这个是什么？这是翻折引理，方案数就是没有限制的方案数减去按直线翻折后终点的方案数，即

\[{n\choose {n-s_n\over 2}}-{n\choose {n-(2(t-1)-s_n)\over 2}}={n\choose t-k}-{n\choose n-k+1} \]

对于 \(\min\{s_i\}\ge t-1\) 的方案数，就是

\[{n\choose {n-s_n\over 2}}-{n\choose {n-(2t-s_n)\over 2}}={n\choose t-k}-{n\choose n-k} \]

最后的总方案数就是

\[{n\choose t-k}-{n\choose n-k+1}-{n\choose t-k}+{n\choose n-k}={n\choose k}-{n\choose k-1} \]

这个东西似乎和 \(t\) 无关，但是我们得考虑这个 \(t\) 有好多取值，由于 \(t\) 满足不等式 \(s_n\ge \min\{s_i\}\Leftrightarrow n-2k+2t\ge t\Rightarrow t\ge 2k-n\)，所以最后的答案就是

\[(2k-n)\left({n\choose k}-{n\choose k-1}\right) \]

这个东西，话说这到底是怎么想到的......

叁、用到の小 \(\tt trick\)

重要定理：

对于一个括号子序列，考虑将 ( 设为 \(1\)，将 ) 设为 \(-1\)，然后求前缀和得到 \(s_i\)，那么，这个序列的最长合法括号子序列的长度就是 \(n-s_n-2|\min\{s_i\}|\).

翻折定理，从 \((0,0)\) 走到 \((x,y)\) 而不经过 \(y=k\) 的方案数，就是没有限制的方案数减去按直线翻折后终点的方案数。

对于没有用到的右括号，实际上就是 \(\max\{|s_i|\}\)，也就是 \(|\min\{s_i\}|\)，这个怎么理解，假如说我们的 \(s_i\) 放到二维坐标系上是这样