[问题思考]当网络流构图遇到负容量边时......

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• 壹、问题描述
• 贰、解决方案

壹、问题描述

对于网络流，我们时刻会建出这样的边 —— 容量是负数，但是遇到这种情况不要放弃，其实是有补救措施的，这里有一个十分真实的案例：

原思路来源于 我的 [BZOJ3218]a+b Problem 的思路（推荐先去看一看题）：

考虑正难则反，如果一个点是奇怪的，那么它的贡献就是 \(b_i-p_i\)，反之，如果它不是奇怪的，就是 \(b_i\) 了，如果要求一个点不是 "奇怪" 的，那么就要求所有满足 \(1\le j<i,l_i\le a_j\le r_i\) 的点都是黑色，也就是说如果这些点都是黑色，就会有额外的贡献。

这就和文理分科十分像了，考虑源点黑，汇点白，划分两个点集，首先从 \(s\) 向每个点连接 \(b_i-p_i\) 的边，意味着选择黑色，然后从每个点向汇点连接 \(w_i\) 的边，意味着选择白色，考虑都是黑色的，就建虚点，对于每个虚点，从源点连接一条边权为对应格子的 \(p_i\)，然后从这个虚点向每个满足条件的格子连接一个 \(+\infty\)，然后直接跑最大流求最小割，最后的答案就是所有的点减去最小割。

对于我的这个思路，其实理论上来说是可行，但是对于建一条容量为 \(b_i-p_i\) 的边，可能会出现负容量，这个怎么解决呢？我们不妨将上图中，每条边的容量设为未知数，然后使用待定系数解出每条边应该赋多少。

贰、解决方案

对于以上思路，我们假设 \(s,t\) 为源汇点，对于主点我们设为 \(a\)，其虚点为 \(a'\)，和它有关联的点（即原题中满足那俩不等式的点）设为 \(b_1,b_2\)，这个图就是

graph LR s((s)) t((t)) a((a)) a'((a')) b1((b1)) b2((b2)) subgraph main s-->|id=1/x|a a-->|id=2/y|t s-->|id=3/z|a' a'-->|inf|a end a'-->|inf|b1 a'-->|inf|b2 b1-->|...|t b2-->|...|t s-->|...|b1 s-->|...|b2

我们只考虑主点的情形（即图中黄色部分），所以 \(b_1,b_2\) 以及其虚点的情况我们都不考虑。

我们再假设 \(T\) 是我们一开始求得的一些值，最后用 \(T\) 减去割掉的边才是我们的真实贡献，我们可以考虑三种情形：

1. \(a\) 属于黑色集 \(s\)，而 \(b_1,b_2\) 只要有一个是白色，那么真实贡献是 \(b_a-p_a\)，而我们割掉的边是 \(2,3\) 号；
2. \(a\) 属于黑色集，同时 \(b_1,b_2\) 都是黑色集，那么 \(a\) 的真实贡献是 \(b_a\)，同时这种情况下我们割掉 \(2\) 号边；
3. \(a\) 属于白色集，这样可以不管 \(b_1,b_2\) 的状态，\(a\) 的真实贡献是 \(w_a\)，这种情况下我们割掉 \(1,3\) 号边；

我们建立三个等式，等式建立遵循 "真实贡献=T-割边总值"，那么三个等式就是

\[\begin{cases} b_a-p_a=T-y-z \\ b_a=T-y \\ w_a=T-x-z \end{cases} \]

然后，我们可以得到

\[\begin{cases} z=p_a \\ y=w_a+x+p_a-b_a \end{cases} \]

说明 \(z\) 是一个定值，而 \(y,x\) 之间有一个固定的差值，而我们只需要调整 \(x\) 的大小，让 \(y,x\) 同时为正数就可以了。

显然，对于原本的思路，我们是将 \(x\) 赋值为了 \(b_a-p_a\)，这样 \(y\) 的值才是 \(w_a\)，但是这样赋值的话，\(x\) 可能是负数，所以我们考虑一种新的赋值方式：

\[x=b_a\Rightarrow y=w_a+p_a \]

这样，\(x,y\) 都是正数了，而我们的 \(T\) 又是什么？将 \(x\) （或者 \(y\)）带入关于 \(x,T\) 的方程即可，此时有

\[T=b_a+y=w_a+b_a+p_a \]

所以我们最后的解决方案就是：

从 \(s\) 向每个点连接 \(b_i\) （就是 \(x\)）的边，然后从每个点向汇点连接 \(w_i+p_i\) （就是 \(y\)）的边，对于每个虚点，从源点连接一条边权为对应格子的 \(p_i\)（就是 \(z\)），然后从这个虚点向每个满足条件的格子连接一个 \(+\infty\)，然后直接跑最大流求最小割，最后的答案就是所有点的 \(w_i+b_i+p_i\)（就是 \(T\)）减去这个图上的最小割。