[学习笔记]当网络流遇上了上下界

目录

• 〇、前言
• 壹、无源汇可行流
  • • 1.1.问题描述
    • 1.2.建图
    • 1.3.一些优化
    • 1.4.代码
• 贰、有源汇可行流
  • • 2.1.问题描述
    • 2.2.建图
• 叁、可行最大流
  • • 3.1.问题描述
    • 3.2.转化
    • 3.3.代码
• 肆、可行最小流
  • • 4.1.问题描述
    • 4.2.转化
    • 4.3.代码
• 伍、无负环可行费用流
  • • 5.1.无源汇可行可行最小费用流
    • 5.2.有源汇可行最小费用最大流
    • 5.3.有源汇可行最小费用流
    • 5.4.有源汇可行最小费用最小流
• 陆、有负权费用流
• 柒、总结

〇、前言

每次到 \(\sf TryMyEdge\) 和同学们的名场面，战线就会太长，我就跟不上了......

然后我就只能脱离战线了 被迫当逃兵 TAT。

还有一些学习使用的资料 战线过长，资源补给不到位，只能自给自足了 。

Menci's Blog、\(\text{NOI Ag}\) 的学长.

至于一些代码什么的，能补就补，补不上就......就这样吧。

壹、无源汇可行流

1.1.问题描述

我们要解决的问题是：

有 \(n\) 个点 \(m\) 条边，每条边有个流量下界和上界，要求图中每条边都要达到下界，不能超过上界，无源汇点，求这样的方案。

1.2.建图

这种问题怎么搞？实际上我们只需要这样建图，定义一个炒鸡源点 \(ss\)，炒鸡汇点 \(tt\)，对于一条边 \(e=\lang u,v\rang,flow(e)\in [low,c]\)，这样连

graph LR subgraph 1.2. ss((ss)) u((u)) v((v)) tt((tt)) ss --> |low|v u --> |c-low|v u --> |low|tt end

对于我们新建出来的图直接跑从 \(ss\) 到 \(tt\) 的最大流就可以了，如果对于每条 \(ss\rightarrow u\) 的点，以及 \(v\rightarrow tt\) 的点都跑满了，就是存在解的，解该怎么找就不多说了。

但是为什么这样是可行的呢？从含义上讲，由于每条边至少都要向 \(v\) 流一个 \(low\) 的流，我们就先强制满足这样的要求，而对于 \(u\)，它至少要流出 \(low\)，我们也让它满足这样的要求，而这条边剩下的一些容量 \(c-low\)，就放在网络里面自行调整。如果把 \(ss,tt\) 想象成 传送门/中转站 的话，可能会更形象。

1.3.一些优化

考虑到我们有 \(m\) 条边，每条边要搞出 \(3\) 条额外边，但是我们很有可能搞出这样的情况

graph LR subgraph 1.3. ss((ss)) u((u)) tt((tt)) ss --> |a|u ss --> |b|u u --> |x|tt u --> |y|tt end

实际上我们可以将 \(ss\rightarrow u\) 的两条权值分别为 \(a,b\) 的边合并成一条权值为 \(a+b\) 的边，对于 \(u\rightarrow tt\) 亦是如此，更厉害地，我们可以将 \(a,b,x,y\) 都合并，分两种情况讨论：

1. \(a+b\ge x+y\)，那么我们只需连 \(ss\rightarrow u\)，容量为 \(a+b-x-y\)；
2. \(a+b< x+y\)，那么我们只需连 \(u\rightarrow tt\)，容量为 \(x+y-a-b\)；

然后直接跑网络流最大流，判断所有从 \(ss\) 出，入 \(tt\) 的边是否满流即可，要构造方案也很简单。

1.4.代码

传送门 to LOJ

贰、有源汇可行流

2.1.问题描述

和 1.1. 差不多，多了个源点 \(s\) 和汇点 \(t\).

2.2.建图

考虑如果存在这样的可行流，那么就有从 \(s\) 出去一些流，进入 \(t\) 一些流，如果我们将 \(t\rightarrow s\) 连一条 \(+\infty\) 的边，流进 \(t\) 的流又流回 \(s\)，那这不就是无源汇可行流了吗？

所以，解决办法就是：先像 壹 中连边，然后再连 \(t\rightarrow s\) 的边，容量为 \(+\infty\)，然后跑最大流。

最后，原图上从 \(s\) 向 \(t\) 的流量就是建出的图上 \(t\rightarrow s\) 的流量。

叁、可行最大流

3.1.问题描述

建立在 2.1. 的基础上，求在满足上下界要求的情况下，从 \(s\) 到 \(t\) 的最大流。

3.2.转化

最大流不是流？所以我们要先用 贰 判断是否有解。

如果有解，那么我们当前所得到了一个可行流，这个流中，满足了每条边的下界，对于这个烂摊子我们怎么办呢......

直！接！从！\(s\)！向！\(t\)！增！广！

这个是什么意思呢？本来我们的源汇点是 \(ss\) 和 \(tt\)，但是跑完之后我们发现它们俩没用了，因为如果存在可行流，我们现在就要求的是最大流，由于 \(ss\) 没有入边，\(tt\) 没有出边，所以我们直接增广 \(s\rightarrow t\) 的时候不会将他们俩考虑进去，换句话说，我们不会把边的下界都破坏掉 —— 因为从 \(ss\) 连出和连入 \(tt\) 的边都是保证下界的，我们不会增广他们即不会破坏他们的边，进一步说不会破坏所有边的下界保证。

所以先跑可行流，如果有就再在这个烂摊子上跑从 \(s\) 到 \(t\) 的 \(\tt dinic\) 就可以了。

3.3.代码

传送门 to LOJ

肆、可行最小流

4.1.问题描述

和 3.1. 没啥区别，求最小流就是了。

4.2.转化

类似 3.2. 我们先求可行流，得到一个烂摊子，然后，我们只需要跑反向最大流，用可行流减去反向最大流就可以了......但是注意需要把之前 \(t\rightarrow s\) 的 \(+\infty\) 的边去掉，不然就嘿嘿嘿了。

很简单的转化。

4.3.代码

传送门 to LOJ

伍、无负环可行费用流

5.1.无源汇可行可行最小费用流

考虑模仿 1.2. 的建图，对于一条边 \(\lang u,v,w,c\rang,flow\in [low,c]\)，我们这样建

graph LR subgraph 5.1. ss((ss)) tt((tt)) u((u)) v((v)) ss-->|w/low|v u-->|w/low|tt u-->|w/c-low|v end

然后直接跑从 \(ss\) 到 \(tt\) 的最小费用最大流即可。

5.2.有源汇可行最小费用最大流

先用满足下界，但是又有源汇，所以我们考虑将 2.2. 和 5.1. 结合起来。

大致就是用 5.1. 方式建边，然后对于 \(s,t\) 我们连一条 \(t\rightarrow s\) 的，容量为 \(+\infty\) 而费用为 \(0\) 的边。

然后直接跑最小费用最大流，得到烂摊子之后，再跑 \(s\) 到 \(t\) 的最小费用最大流，有点像把问题 贰、叁、5.1 全部结合起来的味道。

5.3.有源汇可行最小费用流

先满足每条边的下界，用 5.2. 的方法，对于 \(s,t\) 我们连一条 \(t\rightarrow s\) 的，容量为 \(+\infty\) 而费用为 \(0\) 的边，然后跑从 \(ss\rightarrow tt\) 的最小费用最大流满足下界，然后对于烂摊子跑从 \(s\rightarrow t\) 的最小费用流。

为什么后面还要跑最小费用流？因为有可能从 \(s\rightarrow t\) 的流有可能是负的花费，至于这个负的花费，因为我们跑费用流会激活一些负权边。

5.4.有源汇可行最小费用最小流

先用 5.3. 跑出一个可行最小费用流，然后从 \(t\rightarrow s\) 跑反图，跑最小费用最大流。

陆、有负权费用流

它已经没有 "可行" 二字啦（每条边没有上下界了）！但是思路有相似性。

先考虑没有源汇点的情况。

负环当然是好东西，它可以让你的费用变小，所以我们有一种想法 —— 一个一个把所有负环都找出来，然后加到答案里面去。找环已经很困难了，我们还要一个一个找，这个算法肉眼可见的 \(\mathcal O(\tt{TLE})\).

能否由贪心入手？贪心地选择每个负权边并把他们流满，但是作为流它可能不合法，这个时候我们就需要调整，将其调整为合法的流，而说到调整，有没有想到 1.2. 里面的东西：

而这条边剩下的一些容量 \(c-low\)，就放在网络里面自行调整。

思路相似由此可见，但是亦有差异：

处理可行流，我们强制流满（下界），并且不可反悔。

而有负权环，我们一开始流满（上界），但是可以 "退款"。

那么我们怎么实现退款？这里，\(\text{NOI Ag}\) 的学长提出了他的方法：

根据斜对称性，一条边的流的减少等价于它反向边的流的增加。

也就是说，对于一条边 \(\lang u,v,w,c\rang (w<0)\)，它反向边的容量就是它 "可退款" 的数量，而既然我们要实现可以退全款，就让它和它的反边初始容量都为 \(c\) 就可以了。

由于我们是将所有负流的贡献全部加起来，得到一个负边流满的 \(ans\)，即

\[ans=\sum_{e\in E,w_e<0}w_e\times c_e \]

然后我们加上调整所不得不选上的正权边，对于一条边 \(\lang u,v,k,c\rang (k<0)\)，考虑这样建图

graph LR subgraph 6. ss((ss)) tt((tt)) u((u)) v((v)) ss-->|w=0/c|v v-->|w=-k/c|u u-->|w=0/c|tt end

然后跑最小费用最大流，得到 \(cost\)，最后的答案就是 \(cost+ans\).

如果有源汇点？嘿，往 \(t\rightarrow s\) 连一条容量 \(+\infty\) 边权为 \(0\) 的边，这难道不就转化成无源汇的问题了吗？

柒、总结

这些东西排列组合，可以把人搞晕......

但是本质上都是差不多的，对于只有上下界的情况，我们直接使用 壹、贰 。

对于又有上下界又有费用要求，首先我们需要的肯定是满足下界，所以先用 壹、贰 的方法（带上边权）跑最小费用最大流，然后再根据要求进行调整。

而负环这东西，使用 "正难则反" 的思路，转化为了先流满所有负边，然后调整负边成为合法流的 "无源汇可行流" 的情况。