[学习笔记][转载]网络流

〇、唯一の前言

网络流是真不想写了，转载一下 \(\tt rvalue\) 大佬的博客 吧......

这里只附一个证明最短路单增的另一种证明：

考虑上一次由源点经过 \(p_1\) 长度到边 \(e\)，然后经过 \(e\) 再通过 \(q_1\) 到达 \(t\)，如果我们因为上一次经过 \(e\) 之后，激活了它的反边 \(e'\)，然后经过 \(p_2\) 到达 \(e'\)，经过 \(e'\) 再经过 \(q_2\) 到达 \(t\)，如果存在 \(p_1+1+q_1>p_2+1+q_2\)，即最短路越走越短，那么我们分两类讨论：

1. \(p_1+1>p_2\) 即 \(p_1\ge p_2\)，那么我们第一次为什么不选择走 \(s\rightarrow p_2\rightarrow q_1\rightarrow t\) 呢？
2. 如果 \(p_1<p_2\)，由于 \(p_1+1+q_1>p_2+1+q_2\) 那么一定有 \(q_1>q_2\)，那么我们为什么第一次不选择走 \(s\rightarrow p_1\rightarrow q_2\rightarrow t\) 呢？

这两类都不可能，说明最短路一定是单增的。