[LOJ6053]简单的函数

题目

传送门

题解

注意到 \(f(p)=p-1,(p\neq 2\; and\; p\in \Bbb P)\).

对于其他情况来说，\(f_0(x)=1,a_0=-1\)，对于 \(2\) 来说，\(f_0(x)=1,a_0=1\)，并且有 \(f_1(x)=x\).

我们可以先将 \(2\) 的 \(a_0\) 当成 \(-1\) 来做，这样答案会被少算 \(2\)，最后加上即可，然后用一般思路即可.

最后注意特判 \(n=1\) 的情况.

代码

const int maxn=1e5*2;
const int mod=1e9+7;
const int inv2=500000004;

ll n;int sqn;
int sie[maxn+5];
int prime[maxn>>2],pcnt;
int ppre[maxn>>2];

inline void sieve(const int up){
    sie[1]=1;
    rep(i,2,up){
        if(!sie[i])prime[++pcnt]=i;
        for(int j=1;j<=pcnt && i*prime[j]<=up;++j){
            sie[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
    rep(i,1,pcnt)ppre[i]=(ppre[i-1]+prime[i])%mod;
}

ll w[maxn+5];
int id[2][maxn+5],wcnt;
inline int getid(const ll x){
    if(x<=sqn)return id[0][x];
    return id[1][n/x];
}
inline void hash_w(){
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        w[++wcnt]=n/l;
        if(w[wcnt]<=sqn)id[0][w[wcnt]]=wcnt;
        else id[1][n/w[wcnt]]=wcnt;
    }
}

int g0[maxn+5],g1[maxn+5];
inline void getg(){
    rep(i,1,wcnt){
        // 去掉 f(1)
        g0[i]=(w[i]%mod+mod-1)%mod;
        // 去掉 f(1)
        g1[i]=(1ll*w[i]%mod*(w[i]%mod+1)%mod*inv2%mod+mod-1)%mod;
    }
    rep(j,1,pcnt){
        for(int i=1;i<=wcnt && 1ll*prime[j]*prime[j]<=w[i];++i){
            g0[i]=(g0[i]+mod-(g0[getid(w[i]/prime[j])]+mod-(j-1))%mod)%mod;
            g1[i]=(g1[i]+mod-1ll*prime[j]*(g1[getid(w[i]/prime[j])]+mod-ppre[j-1])%mod)%mod;
        }
    }
}

int S(const ll x,const int j){
    if(prime[j]>=x)return 0;
    int ret=(g1[getid(x)]+mod-g0[getid(x)])%mod;
    ret=(ret+mod-(ppre[j]+mod-j)%mod)%mod;
    for(int i=j+1;i<=pcnt && 1ll*prime[i]*prime[i]<=x;++i){
        for(ll e=1,sp=prime[i];sp<=x;sp*=prime[i],++e)
            ret=(ret+1ll*(prime[i]^e)*(S(x/sp,i)+(e>1))%mod)%mod;
    }
    return ret;
}

signed main(){
    n=readin(1ll);sqn=sqrt(n);
    if(n==1)return writc(1,'\n'),0;
    sieve(sqn);
    hash_w();
    getg();
    writc(S(n,0)+3,'\n');
    return 0;
}

用到の小 \(\tt trick\)

先将所有的 \(f_0\) 都当成一样的，然后再补上 \(f(2)\) 产生的贡献.