[校内OJ-25563]选数
题目
Description
小 s 要在 \([0,2^n)\) 中选一个整数 \(x\)，接着把 \(x\) 依次异或 \(m\) 个整数 \(a_1 \sim a_m\)，他想要最大化 \(x\) 的最终取值。
然而问题并没有这么简单，小 r 想要干预小 s 的选择。
在小 s 选出 \(x\) 后，小 r 会选择恰好一个时刻（刚选完数时、异或一些数后或是最后），将 \(x\) 变为 \((\lfloor \frac{2x}{2^n} \rfloor +2x) \bmod 2^n\).
小 s 想使 \(x\) 最后尽量大，而小 r 会使 \(x\) 最后尽量小。
小 s 想要求出 \(x\) 最后的最大值，以及得到最大值的初值数量。
然而小 s 太笨了不会算，请你帮帮他。
Input
第一行两个整数 \(n,m\)。第二行 \(m\) 个整数 \(a_1 \sim a_m\).
Output
第一行输出一个整数，表示 \(x\) 最后的最大值。
第二行输出一个整数，表示得到最大值的初值数量。
第一个数正确得 \(6\) 分，两个数都正确再得 \(4\) 分。
为了通过 \(spj\) 得到部分分，即使你没有帮小 s 算出答案，也要乱说一个数给他（即你必须输出两行、两个数）。
Sample Input1
2 3
1 2 3
Sample Output1
1
2
样例解释
\(x=0\) 时得到 \(0\)，\(x=1\) 时得到 \(1\)，\(x=2\) 时得到 \(1\)，\(x=3\) 时得到 \(0\).
Sample Input2
见下发文件
Hint
对于 \(20\%\) 的数据，\(n \leq 10,m \leq 100\);
对于 \(40\%\) 的数据，\(n \leq 10,m \leq 1000\);
对于另外 \(20\%\) 的数据，\(n \leq 30,m \leq 10\);
对于 \(100\%\) 的数据，\(n \leq 30,m \leq 100000,0 \leq a_i<2^n\).
题解
对于小 r 的操作，显然是将当前的 \(x\) 二进制下的表示把最高位放到最低位上去，我们把这个操作定义为 \(f(x)\).
显然，对于一个已知的 \(x\)，我们最后的答案就是
变形式子，有
然而我们的 \(x\) 是任意取的，也就是 \(\forall f(x),x'=f(x),x'\in [0,2^n)\)，通俗的说，我们可以取另外一个 \(x'\) 使得 \(x'=f(x)\)
那么，我们将 \(f(x)\) 用 \(x'\) 来代替，式子变成
我们只需要将 \(f(pre[i])\oplus suf[i+1]\) 全部挂到 \(trie\) 树上面，然后考虑我们怎么在 \(trie\) 树上寻找答案.
现在假设我们访问到某个节点 \(u\)，如果它左右都有儿子，则说明这一位无论 \(x\) 怎么取，都有对应的方案将其抵消，那么这一位在所有操作之后只能为 \(0\)，否则，我们只需要取 \(x\) 这一位为其儿子对应数字的相对的值，在操作结束之后便可以变成 \(1\).
但是，对于有两个儿子的节点来说，要将其左右儿子都访问一遍，因为我们不知道哪边取最大值.
最后更新答案即可.
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
namespace IO{
#define rep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i>=i##_end_;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=tail[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define fi first
#define se second
typedef long long ll;
// typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned uint;
#define Endl putchar('\n')
// #define int long long
// #define int unsigned
// #define int unsigned long long
#define cg (c=getchar())
template<class T>inline void readin(T& x){
char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
if(f)x=-x;
}
template<class T>inline T readin(T x){
x=0;char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f?-x:x;
}
#undef cg
template<class T>void fwrit(const T x){
if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
if(x>9)fwrit(x/10);
putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x<y?y:x;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
template<class T>T gcd(const T a,const T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
inline ll mulMod(const ll a,const ll b,const ll mod){//long long multiplie_mod
return ((a*b-(ll)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}
}
using namespace IO;
const int maxm=1e5;
const int maxd=30;
const int maxsize=(maxm+1)*(maxd+1);
int trie[maxsize+5][2],tcnt;
int ed[maxsize+5];
int n,m,a[maxm+5];
int pre[maxm+5],suf[maxm+5];
inline void Init(){
cin>>n>>m;
rep(i,1,m)cin>>a[i];
rep(i,1,m)pre[i]=pre[i-1]^a[i];
fep(i,m,1)suf[i]=suf[i+1]^a[i];
}
inline void insert(const int x){
int now=0,to;
fep(i,n-1,0){
if(!trie[now][to=(x>>i)&1])trie[now][to]=++tcnt;
now=trie[now][to];
}ed[now]=1;
}
inline int f(const int x){
return ((x<<1)&((1<<n)-1))^((x>>(n-1))&1);
}
inline void Build(){rep(i,0,m)insert(f(pre[i])^suf[i+1]);}
int maxx,cnt;
void Query(const int now,const int x){
if(ed[now]){
if(maxx<x)maxx=x,cnt=1;
else if(maxx==x)++cnt;
return;
}
if(trie[now][0] && trie[now][1])Query(trie[now][0],x<<1),Query(trie[now][1],x<<1);
else if(trie[now][0])Query(trie[now][0],x<<1|1);
else Query(trie[now][1],x<<1|1);
}
signed main(){
Init();
Build();
Query(0,0);
cout<<maxx<<' '<<cnt<<'\n';
return 0;
}
