[HDU-6314]Matrix
题目
题解
容斥好题.
由于行列问题相似，我们考虑先解决只有行的时候的答案.
记 \(\text{Ans}_1(i)\) 为有至少 \(i\) 行为黑色时的答案，那么我们考虑其容斥为“先选出 \(j\) 行染黑，其他行任意染色”，那么容斥式子就比较显然，有
\[\text{Ans}_1(i)=\sum_{i=a}^n f_{i}C_{n}^i\times 2^{n-i}
\]
其中 \(f_{i}\) 为式子所对应的容斥系数。
由于容斥，每个方案到最后都是只会被算一次（不然算什么容斥...），那么，如果有某一种方案最后有 \(t\) 行是被染成黑色，由于它只被算了一次，就有
\[\sum_{i=a}^t f_{i}{{t}\choose{i}} =1
\]
我们尝试推导一下递推式，有
\[\begin{aligned}
\sum_{i=a}^nf_i{{n}\choose{i}}&=1 \\
&=\sum_{i=a}^{n-1}f_i{n\choose i}+f_n \\
&=\sum_{i=a}^{n-1}f_i\times \left [{{n-1}\choose {i-1}} +{{n-1}\choose i}\right ]+f_n \\
&=\sum_{i=a}^{n-1}f_i{{{n-1}\choose {i-1}}}+\sum_{i=a}^{n-1}f_i{{n-1}\choose i} + f_n
\end{aligned}
\]
注意到 \(\sum_{i=a}^{n-1}f_i{{n-1}\choose i}=1\)，那么就有
\[\sum_{i=a}^{n-1}f_i{{{n-1}\choose {i-1}}}+\sum_{i=a}^{n-1}f_i{{n-1}\choose i} + f_n=\sum_{i=a}^{n-1}f_i{{{n-1}\choose {i-1}}}+1 + f_n \\
\Rightarrow\sum_{i=a}^{n-1}f_i{{{n-1}\choose {i-1}}}+1 + f_n = 1 \\
\Rightarrow f_n = -\sum_{i=a}^{n-1}f_i{{{n-1}\choose {i-1}}}
\]
这个式子是 \(\mathcal O(n^2)\) 的，对于这道题是可以接受的.
列的式子是一样的方法，接下来我们考虑将他们融合，对于答案 \(Ans(a,b)\) 有
\[Ans(a,b)=\sum_{i=a}^n\sum_{j=b}^mf(1,i){n\choose i}f(2,j){m\choose j}\times 2^{(n-i)(m-j)}
\]
总复杂度为 \(\mathcal O(\sum n^2+m^2+nm)\)
代码
#include<cstdio>
#define rep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i>=i##_end_;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=tail[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define fi first
#define se second
typedef long long LL;
// typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned uint;
#define Endl putchar('\n')
// #define int long long
// #define int unsigned
// #define int unsigned long long
#define cg (c=getchar())
template<class T>inline void read(T& x){
char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
if(f)x=-x;
}
template<class T>inline T read(const T sample){
T x=0;char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f?-x:x;
}
template<class T>void fwrit(const T x){//just short,int and long long
if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
if(x>9)fwrit(x/10);
putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x<y?y:x;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}
const int mod=998244353;
const int maxn=3000;
inline int getmod(const int x){
return (x%mod+mod)%mod;
}
int pow2[maxn*maxn+5];
int C[maxn+5][maxn+5];
inline void Init(){
pow2[0]=1;
rep(i,1,maxn*maxn){
pow2[i]=2*pow2[i-1];
if(pow2[i]>=mod)pow2[i]-=mod;
}
rep(i,0,maxn){
C[i][0]=C[i][i]=1;
rep(j,1,i-1){
C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
if(C[i][j]>=mod)C[i][j]-=mod;
}
}
}
int n,m,a,b;
int fa[maxn+5],fb[maxn+5];
inline void get_f(){
fa[a]=1;int tmp;
rep(i,a+1,n){tmp=0;
rep(j,a,i-1){
tmp+=1ll*fa[j]*C[i-1][j-1]%mod;
if(tmp>=mod)tmp-=mod;
}
fa[i]=mod-tmp;
if(fb[i]>=mod)fb[i]-=mod;
}
fb[b]=1;
rep(i,b+1,m){tmp=0;
rep(j,b,i-1){
tmp+=1ll*fb[j]*C[i-1][j-1]%mod;
if(tmp>=mod)tmp-=mod;
}
fb[i]=mod-tmp;
if(fb[i]>=mod)fb[i]-=mod;
}
}
inline void solve(){
get_f();
int ans=0;
rep(i,a,n)rep(j,b,m){
ans+=1ll*C[n][i]*fa[i]%mod*C[m][j]%mod*fb[j]%mod*pow2[(n-i)*(m-j)]%mod;
if(ans>=mod)ans-=mod;
}writc(ans,'\n');
}
signed main(){
Init();
while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b))solve();
return 0;
}
