[CF379F]New Year Tree
题目
题解
这道题对选手对于树的性质的掌握要求较高。
首先，有一种暴力思路，对于每一次加进俩点之后，跑一次 \(bfs\) 或者是树 \(DP\) 求直径，这样时间复杂度是 \(\mathcal O(qn)\) 的，显然有问题。
考虑换一种思路，有一种贪心地求树直径的方法：
从树上任意一点 \(x\) 开始，找到离其最远的点 \(u\)，再从 \(u\) 找离其最远的点 \(v\)，那么 \((u,v)\) 的路径就是树直径；
证明网上可以找到
这句话反过来说，对于树上任意一点来说，必有树直径的两点中一点是离其最远的。
考虑我们加进来俩点，无非就两种情况：
- 直径没有变化；
- 直径有变化；
情况一不用说，重点在情况二。
考虑如果直径有变，无非就是改变了其中一个端点，为什么？
假设我们在 \(u\) 下接了 \(v_1,v_2\)，找到原来的、距离 \(u\) 最远的直径端点之一 \(x\)，既然 \(x\) 距离 \(u\) 以及最远，那么距离 \(v_1,v_2\) 亦是同理，说明这个点仍然会是端点，唯一的问题就是另一个端点，也就是找到的距离 \(x\) 最远的点发生改变，由于其他点无论是位置、深度还是父子关系够没有改变，唯一有变数的就是我们加进来的俩点 \(v_1,v_2\)，也就是说如果 \(v_1,v_2\) 使得直径有变，那么他们之一一定是直径的某个端点。
那么，思路很明确，由于我们不知道哪个端点是距离 \(u\) 最远的，所以我们只能两端点都和 \(v_1,v_2\) 算一下，和原来的直径进行比较，二者择其优即可。
至于距离计算的时间，可以考虑使用倍增 \(lca\)，时间复杂度在 \(\mathcal O(q\log n)\) 左右.
代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define rep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i>=i##_end_;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=tail[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned uint;
#define Endl putchar('\n')
// #define int long long
// #define int unsigned
// #define int unsigned long long
#define cg (c=getchar())
template<class T>inline void read(T& x){
char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
if(f)x=-x;
}
template<class T>inline T read(const T sample){
T x=0;char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f?-x:x;
}
template<class T>void fwrit(const T x){//just short,int and long long
if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
if(x>9)fwrit(x/10);
putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x<y?y:x;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}
const int maxm=5e5;
const int maxsize=maxm*2+4;
const int logmax=19;
int f[maxsize+5][logmax+5];
int d[maxsize+5];
inline int getlca(int u,int v){
if(d[u]<d[v])swap(u,v);
fep(j,logmax,0)if(d[f[u][j]]>=d[v])u=f[u][j];
if(u==v)return u;
fep(j,logmax,0)if(f[u][j]^f[v][j])
u=f[u][j],v=f[v][j];
return f[u][0];
}
int m;
pair<int,pii>ans,upd;
int node=4;
inline void New(const int u,const int pre){
f[u][0]=pre,d[u]=d[pre]+1;
rep(j,1,logmax)f[u][j]=f[f[u][j-1]][j-1];
}
signed main(){
m=read(1);
ans=mp(2,mp(2,3));
f[2][0]=f[3][0]=f[4][0]=1;
d[1]=1,d[2]=d[3]=d[4]=2;
int pre,lca1,lca2;
while(m--){
pre=read(1);
rep(i,0,1){
New(++node,pre);
lca1=getlca(node,ans.sd.ft);
lca2=getlca(node,ans.sd.sd);
upd=mp(d[node]+d[ans.sd.ft]-2*d[lca1],mp(node,ans.sd.ft));
upd=Max(upd,mp(d[node]+d[ans.sd.sd]-2*d[lca2],mp(node,ans.sd.sd)));
ans=Max(ans,upd);
}
writc(ans.ft,'\n');
}
return 0;
}
