[CF402E]Strictly Positive Matrix

题目

传送门

题解

想了半天没想出来

首先需要注意题目中一个十分重要的条件，就是 \(a_{i,j}\ge 0\)，这个条件是我们做出这道题的关键，而我们需要做的，是判断是否存在 \(k\) 使得 \(A^k\) 是一个严格正矩阵，即使其每一项都大于 \(0\).

首先，利用 \(a_{i,j}\ge 0\)，我们将矩阵中所有大于 \(0\) 的元素都看成 \(1\)，这样做为什么是对的？考虑矩阵乘法，假如有这样一个算式

\[A\times B=C \]

其中，\(A\) 是 \(n\times m\) 的矩阵，\(B\) 是 \(m\times k\) 的矩阵，那么这个算式写成一般形式就是

\[c_{i,j}=\sum_{k=1}^ma_{i,t}\times b_{t,j} \]

也就是说，我们只需知道 \(A\) 的第 \(i\) 行和 \(B\) 的第 \(j\) 列对位乘起来之后求和是否大于 \(0\) 即可，对于这道题，所有的 \(a_{i,j}\ge 0\)，也就是说我们并不在意其值是多少，只要有\(A\) 的第 \(i\) 行和 \(B\) 的第 \(j\) 列对位的某一位恰好同时大于 \(0\)，那么结果的这一位就一定大于 \(0\).

转换之后，\(A^k\) 这个严格正矩阵其实就是一个全 \(1\) 矩阵，而我们输入的矩阵无疑是一个 \(01\) 矩阵。

由 \(01\) 矩阵，我们可以想到邻接矩阵，对于某一个邻接矩阵 \(D\)，如果 \(d_{i,j}=1\) 则表示 \(i,j\) 间有一条边，将其拓展，对于 \(D^p\)，如果 \(d'_{u,v}>0\)，则说明 \(u,v\) 之间存在 \(d'_{u,v}\) 条长度为 \(p\) 的路径。

将其放到我们的 \(A\) 上面来，如果 \(A^k\) 是严格正矩阵，则说明其所有点之间都存在长度为 \(k\) 的路径，既然存在路径，则说明其一定是联通的，那么我们只需要看一看原图——也就是 \(A\) 这个邻接矩阵反映的图是否是一个连通图即可。

最后方法很简单，在 \(A\) 上跑一边 \(tarjan\) 缩点，看是否只有一个 \(scc\) 即可。

代码

#include<cstdio>

#define rep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i>=i##_end_;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=tail[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
typedef long long LL;
// typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned uint;
#define Endl putchar('\n')
// #define int long long
// #define int unsigned
// #define int unsigned long long

#define cg (c=getchar())
template<class T>inline void read(T& x){
    char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    if(f)x=-x;
}
template<class T>inline T read(const T sample){
    T x=0;char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    return f?-x:x;
}
template<class T>void fwrit(const T x){//just short,int and long long
    if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
    if(x>9)fwrit(x/10);
    putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x<y?y:x;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
    inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
    return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}

const int maxn=2000;

bool e[maxn+5][maxn+5];

int n;

inline void Init(){
    n=read(1);
    rep(i,1,n)rep(j,1,n)e[i][j]=read(1)>0;
}

int st[maxn+5],st_sz;
bool inst[maxn+5];
int dfn[maxn+5],low[maxn+5],times;
int sz;
void dfs(const int u){
    inst[st[++st_sz]=u]=true;
    dfn[u]=low[u]=++times;
    rep(v,1,n)if(e[u][v]){
        if(!dfn[v])dfs(v),low[u]=Min(low[u],low[v]);
        else if(inst[v])low[u]=Min(low[u],dfn[v]);
    }if(dfn[u]==low[u]){
        sz=0;
        int v;do{
            inst[v=st[st_sz--]]=false;
            ++sz;
        }while(v^u);
    }
}

signed main(){
    Init();
    dfs(1);
    if(sz==n)puts("YES");
    else puts("NO");
    return 0;
}