[CF1107G]Vasya and Maximum Profit
题目
给定 \(n,a\) 以及有 \(n\) 个元素的一个数列 \(c\) 和一个单调不降数列 \(d\)，求
其中 \(l\in [1,n],l\le r\le n\) 且
特别地，如果 \(l=r\)，那么 \(\text{gap}(l,r)=0\).
题解
分析题目中的柿子，对于一个区间 \([l,r]\)，将其的值记为 \(\text{val}(l,r)\)，即记
不难看出，我们要快速计算 \(\sum_{i=l}^r c_i\)，可以先将其处理为前缀和的形式，那么 \(\sum_{i=l}^r c_i\) 就变成 \(c_r-c_{l-1}\)
尝试将 \(\text{val}(l,r)\) 进行转化：
发现有形式相同的部分 \(ar-c_r\) 与 \(a(l-1)-c_{l-1}\)，那么我们记
柿子就变成
考虑移项，有
对于每个 \(l\)，我们所需要做的就是在所有 \(r\in [l,n]\) 中找到最大的 \(f(r)-\text{gap}(l,r)\)，考虑先处理子问题，如果没有 \(\text{gap}(l,r)\)，那么我们用单调栈，或者退一步用线段树等数据结构都是很好处理的，但是由于这个 \(\text{gap}(l,r)\) 涉及 \(l\)，对于不同的 \(l\)，这个 \(\text{gap}(l,r)\) 的值都不一定相同。
考虑分析 \(\text{gap}(l,r)\) 的结构，是所有区间 \([l,r]\) 中 \(d\) 的相邻两项的差值的平方的最大值，由于是最大值，那么 \(\text{gap}(l,r)\) 在 \(r\) 固定，\(l\) 变小的情况下，只有可能变大而没可能变小，即其具单调性。
既然有单调性，考虑同样用单调栈维护 \(\text{gap}(l,r)\)，因为 \(d\) 单调不降，那么 \(d_{l+1}-d_l\ge 0\)，符号全为正，那么我们并不需要直接比较平方而先维护 \(\max \Delta d\).
显然，\(\max \Delta d\) 在某一段都是连续的，对于有着同样 \(\max \Delta d\) 的区间，我们可以考虑将其合并，对于新的一个 \(l\)，我们要放入 \(d_{l+1}-d_l\) 的值，对于那些小于这个值的区间弹出，将他们合并之后（因为他们的原 \(d\) 都比 \(d_{l+1}-d_l\) 小，取最大值后他们的 \(d\) 都变为 \(d_{l+1}-d_l\)，这时他们将被视作 \(\max \Delta d\) 相同的区间，需合并）再将 \(\max \Delta d\) 更新为 \(d_{l+1}-d_l\)，最后再放入单点 \(l\) 即可。
前面提及
如果没有 \(\text{gap}(l,r)\)，那么我们用单调栈，或者退一步用线段树等数据结构都是很好处理的。
而 \(\text{gap}(l,r)\) 经分析后发现可以用单调栈维护，那么我们尝试同时用单调栈维护 \(f(r)\) 和 \(\text{gap}(l,r)\).
对于有着同样 \(\max \Delta d\) 的区间，我们记录几个最大值：
- \(\max\Delta d\)，这个还要用于维护单调性；
- \(\max \{f-\Delta d\}\)，这个用于更新答案；
- \(\max f\)，这个需要用于更新 \(\max \Delta d\) 之后重新计算 \(\max \{f-\Delta d\}\)；
在我们放入一个新的 \(l\) 时，我们实际要放入 \(d_{l+1}-d_l\)，首先将那些 \(\max\Delta d<d_{l+1}-d_l\) 的区间弹出、合并、更新、重新放入，再讲其自己——单点 \(l\) 放入栈即可。
至于区间弹出、合并、更新、重新放入，代码中有详细说明。
代码
#include<cstdio>
#define rep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i>=i##_end_;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=tail[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
typedef long long LL;
// typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned uint;
#define Endl putchar('\n')
#define int long long
// #define int unsigned
// #define int unsigned long long
#define cg (c=getchar())
template<class T>inline void read(T& x){
char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
if(f)x=-x;
}
template<class T>inline T read(const T sample){
T x=0;char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f?-x:x;
}
template<class T>void fwrit(const T x){//just short,int and long long
if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
if(x>9)fwrit(x/10);
putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x<y?y:x;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}
const int maxn=3e5;
const LL inf=(1ll<<60);
int n;
LL a,d[maxn+5],c[maxn+5],f[maxn+5];
inline void Init(){
n=read(1),a=read(1ll);
rep(i,1,n)d[i]=read(1ll),c[i]=c[i-1]+read(1ll),f[i]=a*i-c[i];
}
struct node{LL d,maxf,maxans;}sta[maxn+5];
int ed;
//返回平方数
inline LL pow2(const LL x){return x*x;}
inline void Get_ans(){
LL ans=Max(0ll,a-(c[n]-c[n-1]));//先选择单点, 但也有可能不选更好...
sta[0].maxans=-inf;//在下面的后缀最大中, 为防止 0 干扰后缀最大, 此处赋值为极小值
sta[++ed]=node{0,f[n],f[n]};//放进去单点, 没有 d, 故 d=0
LL max_pref;//记录因为 d 太小而被弹出的区间中, maxf 的最大值
fep(l,n-1,1){max_pref=-inf;
while(ed>0 && sta[ed].d<=d[l+1]-d[l]){
max_pref=Max(max_pref,sta[ed].maxf);//为了之后再把这些区间放进去时再用
sta[ed--]=node{0,0,0};//为了预防干扰计算
}
if(max_pref!=-inf)
//存在某些区间的 d 比放进去的小, 这些需要被更新
//这个时候需要更新他们的 d, 再把他们合并放进去
//而此处与前一位置的 maxf 取最大值
//是因为我们栈的元素中 maxans 并不是这个元素单独的 maxans, 而是栈中的所有元素的 maxans 的后缀最大值
//我们要用最大值来更新答案, 而不只是单独一个元素的 maxans
sta[++ed]=node{d[l+1]-d[l],max_pref,Max(max_pref-pow2(d[l+1]-d[l]),sta[ed-1].maxans)};
//把这个单点 l 放进去
sta[++ed]=node{0,f[l],Max(f[l],sta[ed-1].maxans)};
//更新答案
ans=Max(ans,sta[ed].maxans-f[l-1]);
// rep(i,0,ed)
// printf("sta[%d] : %lld %lld %lld\n",i,sta[i].d,sta[i].maxf,sta[i].maxans);
}writc(ans,'\n');
}
signed main(){
Init();
Get_ans();
return 0;
}
