[CF95D]Horse Races

题目

传送门

题解

典型数位 \(DP\) 题。

记 \(f(x)\) 为 \([0,x]\) 中有多少满足条件的数，那么答案即为 \(f(r)-f(l-1)\)，但是由于我们的 \(l\le 10^{1000}\)，计算 \(l-1\) 是肯定不理想的。

所以我们可以模仿 这道题 的思路，先计算 \(f(r)-f(l)\)，再特判 \(l\) 是否合法。

现在问题变成如何计算 \(f(x)\).

考虑设计函数 dfs()，首先，根据数位 \(DP\)，一定有的参数是当前的位置 pos，其次是是否抵达最大值 rl，但是这道题与前一幸运数字有关，那么我们需要设计一维记录前一幸运数字的距离 d，但是我们还需知道当前的状态是否已经合法了，即是否已经有两幸运数字距离不超过 \(k\) 了，所以我们还需增加一维 ok 记录当前状态合法情况。

汇总一下，我们设计函数 dfs(pos,d,ok,rl) 表示当前位置为 \(pos\)，前一幸运数字与下一幸运数字最多还可以差的距离，为 \(0\) 不合法，以及 ok 表示当前状态是否合法，rl 表示是否触及上界。

函数的转移，如果当前的位置要填幸运数字，那么下一状态为 dfs(pos-1,k,ok||d>0,rl&(i==up))

如果不填幸运数字，那么下一状态为 dfs(pos-1,Max(d,0),ok,rl&&(i==up))

其中 \(d\) 与 \(0\) 取最大值的原因是我们需要用另外一维记录 \(d\)，如果 \(d\) 为负数很难处理，同时，对于所有 \(d<0\) 的情况，其实都是一样的——即上一幸运数字已经无法对状态合法性产生影响，故可以全部合并为一个状态，即距离已经超过，表现为 \(d=0\).

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>

#define rep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i>=i##_end_;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=tail[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
typedef long long LL;
// typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned uint;
#define Endl putchar('\n')
// #define int long long
// #define int unsigned
// #define int unsigned long long

#define cg (c=getchar())
template<class T>inline void read(T& x){
    char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    if(f)x=-x;
}
template<class T>inline T read(const T sample){
    T x=0;char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    return f?-x:x;
}
template<class T>void fwrit(const T x){//just short,int and long long
    if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
    if(x>9)fwrit(x/10);
    putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
    inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
    return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}

const int maxl=1e3;
const int mod=1e9+7;
const int inf=(1<<30)-1;

int a[maxl+5],k,len,ans;

inline int check(){
    int pre=inf;
    fep(i,len,1){
        if(a[i]==4 || a[i]==7){
            if(pre-i<=k)return 1;
            pre=i;
        }
    }return 0;
}

char ch[maxl+5];
int f[maxl+5][maxl+5][2];

inline void Plus(int& x,const int delta){(x+=delta)>=mod&&(x-=mod);}

int Dfs(const int pos,const int d,const int ok,const int rl){
    if(pos==0)return ok;
    if(!rl && ~f[pos][d][ok])return f[pos][d][ok];
    int ret=0,up=rl?a[pos]:9;
    rep(i,0,up){
        if(i==4||i==7)Plus(ret,Dfs(pos-1,k,ok||d,rl&&(i==up)));
        else Plus(ret,Dfs(pos-1,Max(d-1,0),ok,rl&&(i==up)));
    }if(!rl)f[pos][d][ok]=ret;
    return ret;
}

signed main(){
    int t=read(1);k=read(1);
    memset(f,-1,sizeof f);
    rep(i,1,t){
        scanf("%s",ch);len=strlen(ch);
        rep(i,1,len)a[i]=ch[len-i]^48;
        ans=Dfs(len,0,0,1)-check();

        scanf("%s",ch);len=strlen(ch);
        rep(i,1,len)a[i]=ch[len-i]^48;
        ans=Dfs(len,0,0,1)-ans;
        
        writc((ans+mod)%mod,'\n');
    }
    return 0;
}