[CF1073E]Segment Sum
题目
题解
一道 记忆化搜索 用状压配合数位 \(DP\) 的题。
首先将”求区间 \([l,r]\) 的和“转化为”求区间 \([1,i]\) 的和“，记 \([1,i]\) 的合法数字和为 \(f(i)\)，那么答案就是 \(f(r)-f(l-1)\)，这是数位 \(DP\) 的经典操作，不作过多解释。
考虑 dfs(pos,s,pz,rl) 为填数到第 \(pos\) 位（最低位保证 \(pos=1\)），数字出现情况为 \(s\)（二进制串），是否前导零，是否触及上界的状态，考虑 \(f[pos][s][pz][rl]\) 为这个状态的合法后续数字的和，考虑怎么从 \(f[pos-1]\) 处算出 \(f[pos]\) 的值。
假设第 \(pos\) 位填的是 \(x\)，那么其对答案的贡献应该为 \(x\times 10^{pos-1}\times cnt\)，其中 \(cnt\) 是之后状态的合法数字的个数，但是如果我们只有 \(f\) 似乎是无法同时记录这个 \(cnt\) 的。
考虑多一个数组记录 \(cnt\)，设 \(g[pos][s][pz][rl]\) 为状态 dfs(pos,s,pz,rl) 的合法后续的数字个数，那么 \(g[pos]\) 很好从 \(g[pos-1]\) 处转移，有
似乎什么都没写 其中，\(s'\) 指数字出现的状态 \(s\) 在 \(x\) 填入后变成的新状态，\(pz'\) 指 \(x\) 在填入后是否仍然存在前导零，\(rl'\) 指 \(x\) 填入后是否仍然触及上界
而 \(f[pos]\) 的转移和这个差不多，有
对于临界状态 \(f[0]\) 和 \(g[0]\)，显然有 \(\forall f[0]=0\)，对于 \(g[0]\)，记 \(\text{bitcnt}(x)\) 为 \(x\) 二进制下有多少个 \(1\)，如果 \(\text{bitcnt}(s)\le k\)，有 \(g[0][s][pz][rl]=1\)，否则有 \(g[0][s][pz][rl]=0\).
代码
#include<cstdio>
#include<utility>
#include<cstring>
using namespace std;
#define rep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i>=i##_end_;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=tail[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
#define ft first
#define sd second
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned uint;
#define Endl putchar('\n')
// #define int long long
// #define int unsigned
// #define int unsigned long long
#define cg (c=getchar())
template<class T>inline void read(T& x){
char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
if(f)x=-x;
}
template<class T>inline T read(const T sample){
T x=0;char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f?-x:x;
}
template<class T>void fwrit(const T x){//just short,int and long long
if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
if(x>9)fwrit(x/10);
putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}
const int MAXL=18;
const int ALL=(1<<10)-1;
//0~9, 故要开 2^10-1
const int MOD=998244353;
LL l,r;int k;
int bitcnt[ALL+5];
int a[MAXL+5],pow10[MAXL+5];
inline void Init(){
l=read(1ll),r=read(1ll),k=read(1);
rep(i,1,ALL)bitcnt[i]=bitcnt[i>>1]+(i&1);
pow10[0]=1;
rep(i,1,MAXL)pow10[i]=1ll*pow10[i-1]*10%MOD;
}
int f[MAXL+5][ALL+5][2][2];
int g[MAXL+5][ALL+5][2][2];
/*
f.ft : 和
f.sd : 个数
*/
inline int Plus(int& a,const int delta){
a+=delta;
if(a>=MOD)a-=MOD;
return a;
}
void dfs(const int pos,const int s,const int pz,const int rl){
//pz : prezero
//rl : reachlim
// printf("dfs:>pos == %d, s == %d, pz == %d, rl == %d\n",pos,s,pz,rl);
if(pos==0){
g[pos][s][pz][rl]=bitcnt[s]<=k;
f[pos][s][pz][rl]=0;
return;
}if(~g[pos][s][pz][rl])return;
int up=(rl)?a[pos]:9,ns;
f[pos][s][pz][rl]=g[pos][s][pz][rl]=0;
rep(i,0,up){
ns=(pz&&i==0)?s:(s|(1<<i));
dfs(pos-1,ns,pz&&i==0,rl&&i==up);
int _f=f[pos-1][ns][pz&&i==0][rl&&i==up];
int _g=g[pos-1][ns][pz&&i==0][rl&&i==up];
Plus(g[pos][s][pz][rl],_g);
Plus(f[pos][s][pz][rl],(1ll*i*pow10[pos-1]%MOD*_g%MOD+_f)%MOD);
//注意 pow10 的下标
}return;
}
inline int solve(LL lim){
memset(f,-1,sizeof f);
memset(g,-1,sizeof g);
memset(a,0,sizeof a);
int len=0;
while(lim){
a[++len]=lim%10;
lim/=10;
// printf("a[%d] == %d\n",len,a[len]);
}
dfs(len,0,1,1);
return f[len][0][1][1];
}
signed main(){
Init();
// printf("solve(%lld) == %d\n",r,solve(r));
// printf("solve(%lld) == %d\n",l-1,solve(l-1));
// printf("solve(%lld) - solve(%lld) == %d\n",r,l-1,solve(r)-solve(l-1));
writc((solve(r)-solve(l-1)+MOD)%MOD,'\n');
return 0;
}
