[CQOI2007]余数求和
题目
题解
我的第一道数论分块
首先，我们得推柿子：
\[\begin{aligned}
G(n,k)&=\sum_{i=1}^n k \bmod i \\
&=\sum_{i=1}^n \left( k-\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor \times i \right)\\
&=\sum_{i=1}^n k-\sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor \times i \\
&=nk-\sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor \times i\end{aligned}
\]
看到最后的一个柿子，似乎我们只需要求出 \(\sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor \times i\) 这个东西就行了。
用 \(\mathcal O(n)\) 来求？那还不如直接暴力，这个时候就需要我们的整除分块了。
所谓整除分块，其实就是找规律发现对于整除的一种分块处理思想。
首先，手推看一下 \(\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor\) 有什么规律。
似乎 \(\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor\) 的取值在某些连续的区间是相同的。
对其进行说明：
假设对于一段相同取值的区间，假设区间左边为 \(l\)，那么我们令 \(t=\lfloor\frac{k}{l}\rfloor\)，那么右端点定为 \(\lfloor\frac{k}{t}\rfloor\)，下面给出证明
设 \(\lfloor\frac{k}{l}\rfloor=t\)，那么定有
\[k=lt+r
\]
同时，假设
\[\left\lfloor\frac{k}{l+d}\right\rfloor=t
\]
同上，有
\[k=(l+d)t+r'
\]
联立，有
\[dt=r'-r
\]
则
\[d=\left\lfloor\frac{r'-r}{t}\right\rfloor
\]
因为 \(d\) 是整数，所以加上了取整符号。
我们想让 \(l+d\) 表示这个区间的右端点，显然这个 \(d\) 应该取最大取值，显然，有
\[d_{\max}=\left\lfloor\frac{r}{t}\right\rfloor
\]
那么，右端点为
\[\begin{aligned}
l+d&=l+\left\lfloor\frac{r}{t}\right\rfloor \\
&=l+\left\lfloor \frac{k\bmod l}{\lfloor\frac{k}{l}\rfloor} \right\rfloor \\
&=l+\left\lfloor \frac{k-\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor l}{\lfloor\frac{k}{l}\rfloor} \right\rfloor \\
&=\left\lfloor l+ \frac{k-\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor l}{\lfloor\frac{k}{l}\rfloor} \right\rfloor \\
&=\left\lfloor \frac{k}{\lfloor\frac{k}{l}\rfloor} \right\rfloor
\end{aligned}
\]
大概就这样咯。
但是对于 \(\times i\) 的处理，我们选择使用乘上一段连续相同取值的 \(i\) 的平均数，具体实现看代码咯。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i>=i##_end_;--i)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define uint unsigned int
#define pii pair< int,int >
#define Endl putchar('\n')
// #define int long long
// #define int unsigned
// #define int unsigned long long
#ifdef _GLIBCXX_CSTDIO
#define cg (c=getchar())
template<class T>inline void qread(T& x){
char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
if(f)x=-x;
}
template<class T>inline T qread(const T sample){
T x=0;char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f?-x:x;
}
#undef cg
template<class T>void fwrit(const T x){//just short,int and long long
if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
if(x>9)fwrit(x/10);
putchar(x%10^48);
}
#endif
// template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}
LL n,k,ans;
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin>>n>>k){
ans=n*k;
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
if(k/l==0)r=n;
else r=Min(n,k/(k/l));
ans-=(k/l)*(r-l+1)*(l+r)/2;
}cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
