「题解」「CF1019B」The hat
题目
背景
这是一道交互题。
一共有 \(n\) 个人做成一圈，他们的编号从 \(1\) 到 \(n\)。
现在每个人的手里面都有一个数字 \(a_i\) ，并且保证每个人与他周围两个人的数字差为 \(1\) ，即 \(\mid a_i-a_{i\pm 1}\mid =1\) ，特别地，编号为 \(1\) 与 \(n\) 的人也满足这个规则。
在这个圈里面，编号为 \(i\) 的人的对面坐着的是编号为 \(i+\frac{n}{2}\) 的人（其中 \(i\le \frac{n}{2}\)），现在要你找到哪个人与他对面坐着的那个人手中的数字一样。
程序输出
在最开始，交互程序会给你一个 \(n(2\mid n, n\le 10^5)\) ，表示这个圈里面的人数，然后你可以输出以下两种格式的操作：
? x表示你想询问位置为 \(x\) 的人手中的数字，询问不可执行超过 \(60\) 次；! x表示你的程序的答案，即满足 \(a_x=a_{x+\frac{n}{2}}(x\le \frac{n}{2})\) ，特别地，如果找不到答案，则输出! -1；
交互程序输入
对于操作 \(1\) ，交互程序会输出一个整数 \(a_x\) 表示 \(x\) 编号的人手中的数字。
对于操作 \(2\) ，如果你的答案是错误的，程序会直接退出，且测试结果为 Wrong Answer ，否则若无其他问题则测试结果为 Accepted 。
题解
一道十分有思维含量的好题 我太弱了，想了一个小时 。
首先，若 \(n=4k+2\) ，那么 \(\frac{n}{2}=2k+1\) ，即对于位置 \(i\) ，它对面的位置 \(i+\frac{n}{2}=i+2k-1\) ，可以发现他们相差奇数个位置，那么一定有他们的奇偶性不同，即他们一定不同，所以当 \(n=4k+2\) 时一定无解，至于 \(n=4k+1\) 或者 \(n=4k+3\) ，那是不可能的，题目保证 \(2\mid n\) 。
所以，只有当 \(4\mid n\) 时才有解，现在我们考虑如何快速求解。
对于位置 \(i,i\in [1,n]\) ，我们设它对面的位置为 \(i'\) ，再记 \(a_i-a_{i'}=t_i\) ，那么一定有 \(2\mid t_i\) 且 \(t_i-t_{i+1}=\pm 2 或 0\)，下面给出后者的解释：
- 当 \(a_i=a_{i+1}+1\) ，且 \(a_{i'}=a_{(i+1)'}+1\) 时，\(t_{i+1}=a_i-1-a_{i'}+1=a_i-a_{i'}\) ，即 \(t_i-t_{i+1}=0\) ；
- 另外两种情况可以用上面的方法自行思考；
现在我们要求的，就是一个位置 \(i\) 能够满足 \(d_i=0\) 。
而我们已经证明 \(t_i\) 之间的差为 \(\pm 2 或 0\) ，那么，假设我们枚举到一个区间 \([l,r]\) ，如果 \(t_l\) 与 \(t_r\) 异号，则满足 \(t_i=0\) 的 \(i\) 一定属于区间 \([l,r]\) 。
为什么？\(t_l\) 一定是通过不断 \(-2\) 或者 \(+2\) 来达到另外一种符号，而在这个过程中一定会经过 \(t_i=0\) 的那个点。
update on 2020.2.5
\(\text{ZXY}\) 大佬在此处提出一个问题：如果 \(t_l\) 与 \(t_r\) 一开始就同号，并且有解怎么办？
我们需要把上面的结论推广一下：如果存在解，那么 \(t_l\) 与 \(t_r\) 一定是异号的。
但特别地，我们为了保证 \(t_l\) 与 \(t_r\) 一开始异号，只需让 \(l=1,r=\frac{n}{2}+1\) 即可。
这样我们就可以保证在我们的区间之中是一定有解的。
那么万一 \(t_l\) 和 \(t_r\) 一开始就是 \(0\) 怎么办？这不就是答案吗......
但是因为这个原因，代码中有一些细节需要更改，详见代码标注 update 部分。
如果还有一些问题，可见程序。
程序
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define rep(i,__l,__r) for(signed i=__l,i##_end_=__r;i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=__l,i##_end_=__r;i>=i##_end_;--i)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define uint unsigned int
#define pii pair< int,int >
#define Endl putchar('\n')
// #define FILEOI
// #define int long long
// #define int unsigned
#ifdef FILEOI
# define MAXBUFFERSIZE 500000
inline char fgetc(){
static char buf[MAXBUFFERSIZE+5],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXBUFFERSIZE,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
# undef MAXBUFFERSIZE
# define cg (c=fgetc())
#else
# define cg (c=getchar())
#endif
template<class T>inline void qread(T& x){
char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
if(f)x=-x;
}
inline int qread(){
int x=0;char c;bool f=0;
while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
return f?-x:x;
}
// template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
template<class T>void fwrit(const T x){
if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
if(x>9)fwrit(x/10);
putchar(x%10^48);
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}
const int MAXN=1e5;
const int INF=1e9+5;
int n,a[MAXN+5];
inline int opposite(const int p){return (p+(n>>1)-1)%n+1;}
inline int Ask(const int p){
if(a[p]!=INF)return a[p];
printf("? %d\n",p),fflush(stdout);
return scanf("%d",&a[p]),a[p];
}
inline int TEST(const int p){
int x=Ask(p),y=Ask(opposite(p));
if(x==y){
printf("! %d\n",p),fflush(stdout);
exit(0);
}
return x>y?1:-1;
}
signed main(){
#ifdef FILEOI
freopen("file.in","r",stdin);
freopen("file.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d",&n);
if(n%4)return printf("! -1\n"),fflush(stdout),0;
rep(i,1,n)a[i]=INF;
int l=1,r=(n>>1)+1,mid,tl=TEST(l),tr=-tl,tm;
//update: r, tr 的初值
while(l<=r){
tm=TEST(mid=l+r>>1);
if(tl*tm<0)r=mid-1,tr=tm;
else if(tm*tr<0)l=mid+1,tl=tm;
}
return printf("! -1\n"),fflush(stdout),0;
}
