【题解】[HNOI2015] 落忆枫音

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感觉这题挺有意思的，遂写。

题目大意

给出一个有向无环图，再给定两个点 $s$ 和 $t$，表示在点 $s$ 和 $t$ 间加上一条边。求这个图有多少种生成树。

题目分析

首先考虑不加边之前的情况，假设给定下面这个图：

根据树的定义，除根节点外的节点有且只有一个父亲节点，也就是说对于每一个节点，我们要指定一个唯一的父节点。比如上图的点 $5$，它在生成树上的父节点可以是 $2$ 或者 $6$。又因为每个节点取父节点的情况互不干扰且是个无环图，所以用乘法原理可得生成树的方案有 $\prod\limits_{i=2}^n in[i]$。$in[i]$ 表示点 $i$ 的入度，也就是有 $in[i]$ 个父节点可能。

再考虑加上一条边后可能有环的情况。将上图添加一个由 $6$ 到 $2$ 的有向边。

此时，点 $2$，$4$，$6$ 形成一个环。我们发现，即使现在点 $in[2]=2$，但它的合法方案只有 $1$，因为它的父节点不能为点 $6$，否则会形成环，不符合树的定义。

所以最后的方案数就等于所有方案数减去成环的方案数，而要使一个可以成环的点集成环，它有且只有一种方案，即每个节点的父节点都是上一个环上的点。如上图，若 $6$ 的父节点是 $4$，$4$ 的父节点是 $2$，但 $2$ 的父节点是 $1$ 的话，这时候不会形成一个环。

令集合 $S$ 包含所有在环内的点，得出最后的结论：$ans=\prod\limits_{i=2}^n in[i]-\prod\limits_{i\notin S,i\neq1}in[i]$

我们令 $dp[i]$ 表示从 $t$ 到 $i$ 的含环数量，用拓扑排序维护转移。初始值 $dp[t]=\prod\limits_{i=2}^n in[i]$，状态转移 $dp[v]=\frac{dp[u]}{in[v]}$（$u$ 可达 $v$）。可以这样理解这个状态转移，由于多了一条 $(s,t)$ 的边，所以所有从 $t$ 到 $s$ 的路径上的点必然处于一个这条路径加上 $(s,t)$ 所形成的环上，每次转移一次就相当于除上一个在环上的 $in[i]$ 值，最后的 $dp[s]$ 就是所有有环的方案数。

最后注意由于 $s$ 到 $t$ 多加了一条边，所以 $in[t]$ 要加一。但拓扑排序时 $in[t]$ 要减回来，否则不一定能遍历到它在环上。

总结

遇到在一个较简单的基础上增添一些性质的题，可以从简单的基础上出发，最后再减去不合法方案。