[转] 伯努利分布 v.s 二项分布
转战知乎了 csdn越来愈不行了
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分布的通俗解释：
一件事情，它有若干种结果，每种结果都有其发生的可能性，可能性就称作“概率”。分布就描述了这些概率有多大。
注：某结果一定会发生，则其概率为100%；某结果不可能发生，则其概率为0。一件事情所有结果发生的概率之和等于100%（这是数学上的硬性规定，不过也容易理解）。
伯努利分布的通俗解释：
一件事情，只有两种可能的结果。伯努利分布描述了其中一种结果的概率为a，另一种结果的概率为100%-a。
二项分布的通俗解释：
二项分布以伯努利分布为解释的基础，为了解释二项分布，再回顾一下伯努利分布。“一件事情，只有两种可能的结果”，将其中一结果记作【花生】，另一结果记作【剥花生】，则伯努利分布描述的是——结果是【花生】的概率为a，结果是【剥花生】的概率为100%-a。
将伯努利的事情重复做多次，次数记作N（取自number首字母）。
那么在二项分布中，
事情为：将伯努利分布的事情做N次。
一共有N+1种结果，列举如下：
- 结果【花生】出现0次，结果【剥花生】出现N次；
- 结果【花生】出现1次，结果【剥花生】出现N-1次；
- 结果【花生】出现2次，结果【剥花生】出现N-2次；
- 结果【花生】出现3次，结果【剥花生】出现N-3次；
……
N+1. 结果【花生】出现N次，结果【剥花生】出现0次。
二项分布就描述了这N+1种结果每种结果出现的概率。
完。
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啥，还想知道二项分布中每种结果的概率，得（dé），接着写。
为聚焦推导，用A表示【花生】，B表示【剥花生】。
对于结果1（结果A出现0次，结果B出现N次），其概率为：
为什么概率是这个值，因为B出现的概率是1-a，它连续出现N次就是N个1-a相乘咯（为什么是连乘，好好想想）。
对于结果2，其概率为：
（思考中：A出现一次，概率是a，B出现N-1次，结果就是a乘以1-a的N-1次方！）
可惜，结果2的概率并不是它。为了得到正确的概率值， 我们进一步分析二项分布中做的N次事情。
如果这N件事的结果为BBB……BB，A出现0次，B出现N次，也就是结果1，概率为(1-a)^N是没有问题的。
对于结果2，这N件事可以为ABB……BB，那ABB……BB发生的概率为a×(1-a)^(N-1)。可是结果2还可以为：
BAB……BB，BBA……BB，……， BBB……AB，BBB……BA。
上一行中每一个发生的概率都为 。
所以，结果2发生的概率应该是 ，有多少个
呢，这个问题很简单，可以这样想，N件事情，只发生了一次A，问A可能在哪发生的位置数。这不就是N嘛，因为A可以发生在N个位置的任何一处。
所以，结果2发生的概率为：
对于结果3呢，A发生了两次，B发生了N-2次，根据上述经验，概率应该包括 ，而且这只是AAB……BB发生的概率，还有好多其他的结果，比如BAA……BB。那么，这个好多是多少呢？问题同样可以转换为在N次事情中，发生了两次A，这两次A可能在哪发生的位置数。这个数没有结果1那么浅显易得，而且这将涉及到另外一个数学分支——组合数学的内容，咱们先不探讨它。但咱们可以借助组合数学的表达式来表示这个数，这个表达式为
，即N个相同的位置，要取两个位置的话，可以取的种数。
所以结果3的概率为 。
回过头来看结果2的概率，结果2的概率可以表示为 ，
回过头来看结果1的概率，结果1的概率可以表示为 ，这是因为：
，因为N个相同的位置，取0个位置的取法只有一种，那就是不取；
，任何数的0次幂都是1。
到现在，你发现规律了吗？规律如下。
第i个结果的概率为：
或者，用另一种表示：对于某个结果，其中A发生i次，B发生N-i次，该结果的概率为：
i可以取0，1，2，……，N。
这些概率加起来等于多少？等于1。为什么呢？因为概率之和为1嘛。还有一个原因，那就是
的二项式展开就是上式，即
而 。
由于和二项式展开具有密切的关联，所以二项分布被称作二项分布。
意外的收获。
