[转] 标准化和归一化
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一、标准化/归一化定义
归一化和标准化经常被搞混，程度还比较严重，非常干扰大家的理解。为了方便后续的讨论，必须先明确二者的定义。
归一化
就是将训练集中某一列数值特征(假设是第i列)的值缩放到0和1之间。方法如下所示：
标准化
就是将训练集中某一列数值特征(假设是第i列)的值缩放成均值为0，方差为1的状态。如下所示：
进一步明确二者含义
归一化和标准化的相同点都是对某个特征(column)进行缩放(scaling)而不是对某个样本的特征向量(row)进行缩放。对特征向量进行缩放是毫无意义的(暗坑1) 比如三列特征：身高、体重、血压。每一条样本(row)就是三个这样的值，对这个row无论是进行标准化还是归一化都是好笑的，因为你不能将身高、体重和血压混到一起去!
在线性代数中，将一个向量除以向量的长度，也被称为标准化，不过这里的标准化是将向量变为长度为1的单位向量，它和我们这里的标准化不是一回事儿，不要搞混哦(暗坑2)。
二、标准化/归一化的好处
2.1 提升模型精度
在机器学习算法的目标函数(例如SVM的RBF内核或线性模型的l1和l2正则化)，许多学习算法中目标函数的基础都是假设所有的特征都是零均值并且具有同一阶数上的方差。如果某个特征的方差比其他特征大几个数量级，那么它就会在学习算法中占据主导位置，导致学习器并不能像我们说期望的那样，从其他特征中学习。
举一个简单的例子，在KNN中，我们需要计算待分类点与所有实例点的距离。假设每个实例点(instance)由n个features构成。如果我们选用的距离度量为欧式距离，如果数据预先没有经过归一化，那么那些绝对值大的features在欧式距离计算的时候起了决定性作用。
从经验上说，归一化是让不同维度之间的特征在数值上有一定比较性，可以大大提高分类器的准确性。
2.2 提升收敛速度
对于线性model来说，数据归一化后，最优解的寻优过程明显会变得平缓，更容易正确的收敛到最优解。
比较这两个图，前者是没有经过归一化的，在梯度下降的过程中，走的路径更加的曲折，而第二个图明显路径更加平缓，收敛速度更快。 对于神经网络模型，避免饱和是一个需要考虑的因素，通常参数的选择决定于input数据的大小范围。
三、标准化/归一化的对比分析
首先明确，在机器学习中，标准化是更常用的手段，归一化的应用场景是有限的。我总结原因有两点：
1、标准化更好保持了样本间距。当样本中有异常点时，归一化有可能将正常的样本“挤”到一起去。比如三个样本，某个特征的值为1,2,10000，假设10000这个值是异常值，用归一化的方法后，正常的1,2就会被“挤”到一起去。如果不幸的是1和2的分类标签还是相反的，那么，当我们用梯度下降来做分类模型训练时，模型会需要更长的时间收敛，因为将样本分开需要更大的努力!而标准化在这方面就做得很好，至少它不会将样本“挤到一起”。
2、标准化更符合统计学假设
对一个数值特征来说，很大可能它是服从正态分布的。标准化其实是基于这个隐含假设，只不过是略施小技，将这个正态分布调整为均值为0，方差为1的标准正态分布而已。
所以，下面的讨论我们先集中分析标准化在机器学习中运用的情况，在文章末尾，简单探讨一下归一化的使用场景。这样更能凸显重点，又能保持内容的完整性，暂时忘记归一化，让我们focus到标准化上吧。
四、逻辑回归必须要进行标准化吗?
我觉得，回答完上面的问题，就可以很好地掌握标准化在机器学习中的运用。
首先，请尝试自己来回答一下(暂停5秒)
无论你回答必须或者不必须，你都是错的!
真正的答案是，这取决于我们的逻辑回归是不是用正则。
如果你不用正则，那么，标准化并不是必须的，如果你用正则，那么标准化是必须的。(暗坑3)
为什么呢?
因为不用正则时，我们的损失函数只是仅仅在度量预测与真实的差距，加上正则后，我们的损失函数除了要度量上面的差距外，还要度量参数值是否足够小。而参数值的大小程度或者说大小的级别是与特征的数值范围相关的。举例来说，我们用体重预测身高，体重用kg衡量时，训练出的模型是： 身高 = 体重*x x就是我们训练出来的参数。
当我们的体重用吨来衡量时，x的值就会扩大为原来的1000倍。
在上面两种情况下，都用L1正则的话，显然对模型的训练影响是不同的。
假如不同的特征的数值范围不一样，有的是0到0.1，有的是100到10000，那么，每个特征对应的参数大小级别也会不一样，在L1正则时，我们是简单将参数的绝对值相加，因为它们的大小级别不一样，就会导致L1最后只会对那些级别比较大的参数有作用，那些小的参数都被忽略了。
如果你回答到这里，面试官应该基本满意了，但是他可能会进一步考察你，如果不用正则，那么标准化对逻辑回归有什么好处吗?
答案是有好处，进行标准化后，我们得出的参数值的大小可以反应出不同特征对样本label的贡献度，方便我们进行特征筛选。如果不做标准化，是不能这样来筛选特征的。
答到这里，有些厉害的面试官可能会继续问，做标准化有什么注意事项吗?
最大的注意事项就是先拆分出test集，不要在整个数据集上做标准化，因为那样会将test集的信息引入到训练集中，这是一个非常容易犯的错误!
五、通过例子来说明
我们先从简单的预测房价的线性回归模型开始：
有一组关于房价和房子变量的数据集，通过房子的面积，房间数量，房子的层数来预测房价。
占地面积1800尺，房间数量3间，房子层数2层-> 房价?;
为了方便对比，我们分别看一下标准化前和标准化后的模型输出分布是怎么样的。
可以看出，标准化前后变量的系数不同，误差不同，但是R平方，和变量的t值是相同的。
5.1 解释有区别吗?
那标准化前后得到的公式，怎么来解释呢?
当一个外行人在听解释的时候，一定会问，什么呀?所有东西都是0，空气造的房子还能卖9万?!
接着你会问，系数不同，那预测出来的房价会相同吗?
5.2 预测值有区别吗?
现在我们来预测一个1590尺，3个卧室，3层的房屋
我们发现预测出来的房价是一样的。
这时你一定会想，既然结果都一样，做不做标准化，都一样嘛。说到这里，我们再看一下，建模时寻找最优解的时间吧。
5.3 花费时间有区别吗?
为什么标准化后的建模时间会短呢?这时候就要说起寻找系数最优解-梯度下降法。
标准化前，由于变量的单位相差很大，导致了椭圆型的梯度轮廓。标准化后，把变量变成统一单位，产生了圆形轮廓。由于梯度下降是按切线方向下降，所以导致了系统在椭圆轮廓不停迂回地寻找最优解，而圆形轮廓就能轻松找到了。
还有一种比较极端的情况，有时没做标准化，模型始终找不到最优解，一直不收敛。
5.4 PCA，Kmeans，KNN需要标准化数据吗?
这种情况下，可见标准化的重要性了吧。
我们再来看一下，如果将预测房价的变量，用PCA方法来降维，会不会对结果产生影响。
我们看出在标准化前，用一个成分就能解释99%的变量变化，而标准化后一个成分解释了75%的变化。 主要原因就是在没有标准化的情况下，我们给了居住面积过大权重，造成了这个结果。
那还有什么情况下，不做归一化会发生这么大的影响?
Kmeans，KNN一些涉及到距离有关的算法，或者聚类的话，都是需要先做变量标准化的。
举个例子，我们将3个城市分成两类，变量有面积和教育程度占比;三个城市分别是这样的：
城市A，面积挺大，但是整天发生偷盗抢劫，教育程度低;
城市B，面积也挺大，治安不错，教育程度高;
城市C，面积中等，治安也挺好，教育程度也挺高;
我们如果不做标准化，直接做聚类模型的话，A城市和B城市分在一块儿了，你想想，一个治安挺好的城市和一个整体偷盗抢劫城市分在一起，实在是有点违反常理。
六、总结
Tree-based models doesn’t depend on scaling
Non-tree-based models hugely depend on scaling
有时候，我们必须要特征在0到1之间，此时就只能用归一化。有种svm可用来做单分类，里面就需要用到归一化，由于没有深入研究，所以我把链接放上，感兴趣的可以自己看。
当然，也不是所有的模型都需要做归一的，比如模型算法里面有没关于对距离的衡量，没有关于对变量间标准差的衡量。比如decision tree 决策树，他采用算法里面没有涉及到任何和距离等有关的，所以在做决策树模型时，通常是不需要将变量做标准化的。
