字符串算法复习1

KMP

应用：定义\(nxt[i]\)表示字符串\(S\)的子串\(S_0,\cdots,S_i\)中的最长公共真前后缀(不包括串本身)，即\(S_0,\cdots, S_{nxt[i]-1}=S_{i-nxt[i]+1},\cdots,S_i\)

时间复杂度： \(O(n)\)

模板

vector<int> KMP(string s){
    int n=s.size();
    vector<int>nxt(n);
    for(int i=1,j=0;i<n;i++){
        j=nxt[i-1];
        //比较的是S_i和S_{nxt[i-1]-1+1},而S_{i-1}=S_{nxt[i-1]-1}
        while( j>0 && s[i]!=s[j]) j=nxt[j-1];
        j+=(s[i]==s[j]);
        nxt[i]=j;
    }
}

扩展KMP算法(Z算法)

应用：定义\(z[i]\)表示字符串\(s[0..n-1]\)和\(s[i...n-1]\)（即以\(s[i]\)开头的后缀)的最长公共前缀(\(LCP\))的长度

时间复杂度:\(O(n)\)

原理：

维护右端点最靠右的匹配段，定义\([l,r]\)为在枚举到\(i\)之前，右端点最靠右的\(s[l..r]=s[0,r-l]\)

当枚举到\(i\)时：

• 如果\(i<=r\),有\(s[i,r]=s[i-l,r-l]\),于是\(z[i]\ge min(z[i-l],r-i+1)\)

​ 这时:如果\(z[i-l]<r-i+1\),则\(z[i]=z[i-l]\),否则令\(z[i]=r-i+1\),然后暴力枚举下一个字符扩展\(z[i]\)直

​ 到不能扩展为止

• 如果\(i>r\),直接暴力求出\(z[i]\)
• 在求出\(z[i]\)后，如果\(i+z[i]-1>r\),更新\(l=i,r=i+z[i]-1\)

扩展：如果要求\(S\)的每一个后缀和\(T\)的最长公共前缀，那么可以令字符串\(S^{'}=T+'\#'+S\)，跑一遍\(Z-algorithm\)即可

const int N;
int z[N];
string s;
for(int i=1,l=0,r=0;i<n;i++)
{
    if(i<=r && z[i-l]<r-i+1) z[i]=z[i-l];
    else z[i]=max(0,r-i+1);
    while(i+z[i]<n&&s[z[i]]==s[i+z[i]]) ++z[i];
    if(i+z[i]-1>r) l=i,r=i+z[i]-1;
}

Manacher 算法

时间复杂度：\(O(n)\)

应用：给定一个字符串，找到所有对\((i,j)\)使得子串\(s[i...j]\)为一个回文串

定义：\(d1[i]\)表示以\(i\)为中心的最长奇回文串半径，比如\(abcba\)，其中\(d1[3]=3\)，于是回文串长度为\(2 d1[i]-1\)

​ \(d2[i]\)表示以\(i\)为中心的最长偶数回文串半径，比如\(abba\)，其中\(d1[3]=2\),于是回文串长度为\(2 d2[i]\)

int d1[N],d2[N];//d1求奇数回文串，d2求偶数回文串
for(int i=0,l=0,r=-1;i<n;i++)
{
    int k=(i>r)?1:min(d1[ l+r-i ],r-i+1);
    while(0<=i-k&&i+k<n&&i+k<n&&s[i-k]==s[i+k]) k++;
    d1[i]=k--;
    if(i+k>r) l=i-k,r=i+k;
}
for(int i=0,l=0,r=-1;i<n;i++)
{
    int k=(i>r)?0:min(d2[l+r-i+1],r-i+1);
    while(0<=i-k-1&&i+k<n&&s[i-k-1]==s[i+k]) k++;
    d2[i]=k--;
    if(i+k>r) l=i-k-1,r=i+k;
}

奇偶统一处理

此时的\(d[i]\)表示以\(i\)为中心的最长回文串的长度\(-1\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int d[N],n;
char s0[N],s[N];
int main()
{
	scanf("%s",s0);
	s[n]='#';
	for(int i=0;i<strlen(s0);i++) s[++n]=s0[i],s[++n]='#';
	for(int i=0,l=0,r=-1;i<=n;i++)
	{
	    int k=i>r?1:min(d[l+r-i],r-i+1);
	    while(0<=i-k&&i+k<=n&&s[i-k]==s[i+k]) k++;
	    d[i]=k--;
	    if(i+k>r) l=i-k,r=i+k;
	}
    for(int i=0;i<=n;i++)
    if(s[i]!='#') cout<<d[i]-1<<endl;

}

最小表示法

• 时间复杂度:\(O(n)\)
• 循环同构:当字符串\(S\)中可以选定一个位置\(i\)满足\(S[i...n]+S[1...i-1]=T\),则称\(S\)与\(T\)循环同构
• 应用：求与字符串\(S\)循环同构的所有字符串中字典序最小的字符串

string s;
int n=s.size();
int k=0,i=0,j=1;
while(k<n&&i<n&&k<n)
{
    if(s[(i+k)%n]==s[(j+k)%n]) k++;
    else
    {
        if(s[(i+k)%n]>s[(j+k)%n]) i=i+k+1;
        else j=j+k+1;
        if(i==j) i++;
        k=0;
    }
}
i=min(i,j);
for(int p=i;p<n;p++) cout<<s[p];
for(int p=0;p<i;p++) cout<<s[p];
puts("");